導數綜合問題歸類

摘 要：導數是高中數學主要內容之一，在高考中占有很大比重，在解答題中導數總是做為壓軸題出現，所以導數問題也是高考的難題。導數問題主要涉及求函數的單調性、函數的極值和最值、曲線的切線等導數的簡單應用，還包括恒成立中求參數問題、方程根及函數零點問題、不等式證明問題等綜合問題，本文主要從后面幾個問題進行分析和研究。

關鍵詞：導數 單調性 構建函數

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1673-9795（2013）06（c）-0093-01

1 關于恒成立中求參數問題

例1：（2012吉林質檢）已知函數，其中為常數。

（1）若對任意有≥0成立，求的取值范圍；

解析：（1），令，得。故當時，，單調遞減；當時，，單調遞增。所以當時，為最小值。令≥0，得≤1，所以的取值范圍為≤1。

溫馨提示：對于恒成立求參數范圍問題，最后都轉化為求函數的最值問題，因此，利用導數求函數最值是解決恒成立問題的一種重要方法。

注：本題還有第二問請看下面二方程根及函數零點問題。

2 方程根及函數零點問題

例2：（2012吉林質檢）已知函數，其中為常數。

（2）當時，判斷在上零點的個數，并說明理由。

解析：（2）由（1）知在上至多有兩個零點，當時，，因為，所以在上有唯一零點。又，令，當時，，單調遞增，所以，即。故，所以在上有唯一零點。因此在上有兩個零點。

溫馨提示：對于方程根和函數零點問題，要從函數的極值和端點符號及單調性考慮，再根據零點存在性定理，來判斷函數圖象與軸交點個數。

3 不等式證明問題

3.1 一元不等式證明問題

例3：已知函數證明：當，且時，。

解析：因為，

令，則，所以當時，，所以在和上為減函數。因為，所以當且時，恒有即。

溫馨提示：對于這類一元不等式證明問題，常根據題目的特征，恰當構建函數，利用導數研究函數的單調性，轉化為求函數的最值、極值問題，解題時要注意轉化的等價性。

3.2 兩元不等式證明問題

例4：證明：。

解析：要證，只需證。即證。設再根據導數證明在上為單調增函數，又，所以，證得。

溫馨提示：這類非明顯一元函數式的不等式證明問題，本題的解決是構建了一個一元函數，根據一元函數的單調性轉化為求最值問題，本題最后轉化為例3類型的問題。

小結：（1）在解決導數綜合問題解答題的后一問時，要注意是否能用到前一問的解題結果。

（2）對于含兩元的不等式證明問題，一般都要構建為一元函數去證明，但對于例3構建后的證明又不同，例3是通過一元函數的單調性，轉化為求函數的最值問題。

總結：導數在高中數學及高考中有著極其重要的地位，對于導數綜合問題無論是恒成立中求參數問題，方程根及零點問題，還是不等式證明問題，往往都有一定難度，在解題過程中一般都是通過導數研究函數的單調性或最值來解決問題。

參考文獻

[1]林鵬程.高考導數常見問題歸納[J].教學實踐，2011（3）：28-29.

[2]張海峰，黃寒凝.導數綜合應用分析[J].中學課程輔導：教學研究，2011（9）：33-34.