初等數論教學中類比法的應用分析

摘 要：本文以初等數論課程教學活動的開展為研究對象，著眼于對類比法教學方式的應用，結合初等數論教學案例，分析了類比法這一教學手段在教學實踐中的開展情況及其特殊優勢，旨在為類比法進一步應用于初等數論教學過程，提供一定的參考與幫助。

關鍵詞：初等數論 教學 類比法 應用 分析

中圖分類號：G63 文獻標識碼：A 文章編號：1673-9795（2013）06（c）-0094-01

類比法作為一種有效的教學方法，其最為突出的優勢在于，能夠引導學生將不同的對象聯系起來，從而達到加深學生對相關知識點認知與理解程度的目的。將其應用于初等數論教學中，不但有助于提高學生對相關知識點的掌握程度，同時還有助于形成良好的數學思維。本文試結合教學實踐案例，對其做詳細分析。

1 類比法應用于最大公因數教學

教師首先需要針對此項教學內容的課時進行細致安排，確保學生能夠充分認識到有關“最大公因數”知識點的基本內容。在此基礎之上，從基本概念、性質、計算方式以及特征等多個方面入手，以類比法為主要手段，引導學生自主認識到有關“最小公倍數”知識點的基本內容。教師應用類比法分析“最大公因數”知識點的過程中，可按照如下方式實施：

第一步：分析“最大公因數”基本定義：即對于整數a1，a2，…，an而言，與之相對應的公共因數可以定義為a1，a2，…，an的公因數。與此同時，對于不全為零的整數b1，b2，…，bn而言，其所有公因數當中，數值最大的公因數可定義為整數中的最大公因數。其具體的表達方式應當為：（b1，b2，…，bn）。同時，對于非零整數而言，與之相對應的因數個數是有限集。因此可以證實：最大公因數（b1，b2，…，bn）是實際存在，且為正整數。

第二步：研究“最大公因數”基本定理：即對于任何整數集a1，a2，…，an而言，滿足如下等式：（1）：（a1，a2，…，an）=（|a1|，|a2|，…，|an|）；同時也滿足（2）：（a，1）=1；（a，0）=（a，a）=|a|。同時，（a，b）=（b，a）。在此基礎之上，若定義x，y，z當中，x為整數，y為素數，那么對于（y，x）而言，合理的取值結果可以分為兩種情況：（1）是（y，x）=1；（2）是（y，x）=y|x。在此基礎之上，若進一步應用類比法，定義a取值為（by+z），那么可以推斷得出：（a，b）=（b，z）。

第三步：引導學生自主展開對“最大公因數”相關數值的求解：教師需要在教導學生認識如何應用類比法推斷公式的基礎之上，引導學生自主展開對相關知識點的求解。例如，在上一步驟教師所進行的教學過程當中，已得出了兩個有關“最大公因數”的基本定義：（1）（a，1）=1；（a，0）=（a，a）=|a|；（2）定義a取值為（by+z），則有（a，b）=（b，z）。在上述兩項“最大公因數”基本性質定理的基礎之上，學生可以利用輾轉相除法計算得出，在任意n個非零整數中的最大公因數數值。基于上述分析不難看出：在初等數論的教學過程當中，整數的整除理論可以說是教學的基礎與根本所在。以類比法為手段，組織有關最大公因數的教學內容，能夠在提高教學質量的同時，加深學生的理解。

2 類比法應用于同余式教學

在有關同余式性質以及等式基本性質知識點的研究過程當中，同樣可借助于對類比法的合理應用，加深學生對于此項知識點的認知。在此過程當中，教師應用類比法方式展開教學的最主要目的：在于既體現同余式性質與等式基本性質聯系的同時，比較上述兩者之間存在的異同點。具體而言，可按照如下方式實施：

第一步：引導學生認識到固定模所對應同余式與常規等式之間的相同點。具體來說，對于固定模a而言，a自身所對應的同余式在如下幾個方面與等式有著多處相同點。具體如下所示：

（1）首先，xy（mod a）所需要滿足的最基本的充要條件為：x=y+at（且t∈Z）換句話來說，該充要條件還可進一步拓展成為：a|x-y；其次，對于存在同余關系的等式而言，有以下幾個方面的算律是必須遵循的：同余關系從本質上來說屬于一種特殊的等價關系。

（2）在對同余式進行加/減操作的過程當中，若定義xy（mod a），且滿足zu（mod a）。聯立上述同余式，則可以推斷得出存在于x、y、z、u之間的對應關系：如x±zy±u（mod a）；在對同余式進行相乘操作的過程當中，若同樣定義xy（mod a），且滿足zu（mod a）。聯立上述同余式，則可以推斷得出存在于x、y、z、u之間的對應關系：如xzyu（mod a）。

第二步：教師可以在得出上述基本算律的基礎之上，就上述有關同余式進行加/減操作以及乘法操作過程當中所表現出的基本特點，建立相應的運算公式。但需要注意的是：對于同余式而言，消去律在常規意義上來說是不成立的。這也就是說：在基于xzyz（mod a）的基礎之上，并無法準確的推斷得出：xy（mod a）。教師需要在引導學生認識到上述問題的基礎之上，采取類比方式，引導學生推斷得出以下結果：即對于同余式“xzyz（mod a）”而言，可以判定的是：

xy（mod a/（a，z））

換句話來說，若在該同余式當中的（z，a）取值為1，那么上述等式可以直接簡化成為“xy（mod a）”。這一過程當中所涉及到的基本定理就在于：當出現同余式兩邊公因數z與模a存在互素關系的情況下，則可以在該同余式兩邊直接約去公因數“z”，達到簡化同余式的目的。基于上述分析不難發現：在將類比法應用于該知識點教學的過程當中，能夠盡量避免同余式運算過程的抽象性，提高學生對于整個計算過程中以及數論知識的理解程度，同時加深記憶。

3 結語

類比法最為突出的優勢在于，能夠引導學生將不同的對象聯系起來，達到加深學生對相關知識點認知與理解。這與初等數論教學的目的相吻合。本文結合相關教學案例，研究類比法在教學過程中的應用。

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