芻議矩陣乘法

摘 要：本文從矩陣乘法的定義出發，剖析其中的一些錯誤結論，然后，從定義引入、利用分塊矩陣、加強課堂練習等方面提出一些建議。

關鍵詞：矩陣乘法 錯誤 分塊矩陣

中圖分類號：G623 文獻標識碼：A 文章編號：1673-9795（2013）09（a）-0074-01

1 對矩陣乘法定義的分析

（1）定義：設，，則由元素

構成的行列矩陣稱為矩陣與的乘積，記作.

（2）說明：

①兩個矩陣相乘，只有當前面矩陣的列數等于后面矩陣的行數才能相乘。

②的元素即為矩陣的第行元素與矩陣的第列對應元素乘積的和，即：.

③的行數等于前矩陣的行數，其列數等于后矩陣的列數。

2 對矩陣乘法錯誤的分析

我們知道，在數的乘法中存在：（1）；（2）。但矩陣的元素一般來說不至一個，因此，兩個矩陣相乘不能照搬數的乘法運算律。

下面對矩陣乘法中常出現的錯誤做一分析：

錯誤一：

例1：設，，

則，而。

可見

錯誤二：或

例2：設，

則

由例2可知，兩個非零矩陣的乘積可能是零矩陣，即或.

此錯誤常有以下幾種表現：

（1）若，且，則

由例2可看出此結論是錯的。若為方陣，可把條件改為，則結論就成立。

即若，且，則。因為，所以可逆，因而在兩邊左乘即可得。

（2）

將移向，得，將其歸結為第一種錯誤表現，因而是錯誤的。

（3），其中為單位矩陣。

3 教學思考

在矩陣乘法的講解過程中，考慮到學生的實際情況，嘗試以下幾方面的教學，取得了較好的教學效果。

（1）定義引入。

目前，學生對購買股票、基金等比較感興趣，因此，在教學的過程中，我通常用下面的例子來引入矩陣與矩陣的乘法的。

例如：甲、乙、丙三人都購買了Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四種股票，購買的數量（單位：股數）用矩陣A表示，一、二月份這些股票的收益（單位：元/股）用矩陣B表示，計算一、二月份甲、乙、丙這三人的盈虧。

Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ 一 二

，

先讓學生自己去算結果，引導學生寫出盈虧的矩陣C：

一月 二月

從這個矩陣可以很清楚的看出所求結果。有了這樣一個很直觀的例子，學生對矩陣乘法到底是怎么進行和為何這樣定義是很容易接受的。

（2）利用分塊矩陣，將矩陣的乘法簡化為特殊矩陣的乘法。

設，其中，；

，其中，；

則

可直接讀出結果來，非常簡單。

參考文獻

[1] 趙樹嫄.線性代數[M].3版.北京：中國人民大學出版社，1997.

[2] 楊霞.淺談獨立學院《線性代數》的教學[J].甘肅科技，2009，25（11）：162-163.