學(xué)習(xí)排列組合幾點(diǎn)建議

摘 要：排列組合是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)難點(diǎn)，其思考方法獨(dú)特靈活，必須具備較好的抽象能力和邏輯思維能力。思考方法不同，解題思路也不一樣，因此，一道題目經(jīng)常存在多種解題方法，也極容易出現(xiàn)“重復(fù)”或“遺漏”的錯(cuò)誤。排列組合是高中的一個(gè)重點(diǎn)，也是一個(gè)難點(diǎn)。

關(guān)鍵詞：基礎(chǔ) 方法和技巧 能力

中圖分類(lèi)號(hào)：G4 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1673-9795（2013）09（c）-0085-01

要學(xué)好本章除了學(xué)好基礎(chǔ)知識(shí)和掌握一些解題方法和技巧外，還要通過(guò)不斷的積累、思考，能做到舉一反三，觸類(lèi)旁通，使思維能力和推理能力得到提高；才能真正的學(xué)好排列組合。

在基礎(chǔ)知識(shí)方面，“分類(lèi)計(jì)數(shù)原理”和“分步計(jì)數(shù)原理”是本章主線(xiàn)。要根據(jù)我們完成某件事時(shí)采取的方式來(lái)區(qū)分是分類(lèi)還是分步，分類(lèi)相加，分步相乘。排列與組合定義相近，它們的區(qū)別在于是否與順序有關(guān)。只取不排（無(wú)序）是組合問(wèn)題，先取后排（有序）是排列問(wèn)題。同時(shí)要掌握排列和組合數(shù)的計(jì)算。這是本章的重點(diǎn)，但不是難點(diǎn)。

本章的難點(diǎn)在解題方法和解題技巧上，下面介紹幾種常用的解題方法和技巧。

1 特殊元素優(yōu)先考慮，特殊位置優(yōu)先安排法

例1：用0，1，2，3，4，5，五個(gè)數(shù)字，能組成多少個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)？

分析：由于該四位數(shù)為偶數(shù)，故末尾數(shù)字必為偶數(shù)，又因?yàn)?不能排首位，故0就是其中的“特殊”元素，應(yīng)該優(yōu)先安排，按0排在末尾和0不排在末尾分兩類(lèi)：（1）0排末尾時(shí)，有A個(gè)；（2）0不排在末尾時(shí)，0又不能排在首位，分三步考慮，第一步：個(gè)位從2和4中選一個(gè)，有A種；第二步：個(gè)位選定后，首位又不能為0，首位有A種；第三步：中間兩位從余下的四個(gè)數(shù)字選兩個(gè)排列，有A種；0不排在末尾有AAA個(gè)。共有偶數(shù)A+AAA=156個(gè)。

2 相鄰問(wèn)題用捆綁法

在解決對(duì)于某幾個(gè)元素要求相鄰的問(wèn)題時(shí)，先將相鄰的元素捆綁起來(lái)，看作一個(gè)元素與其余元素排列，然后再考慮捆綁在一起的元素的內(nèi)部排列就是捆綁法。

例2：5名男生，3名女生站一排，女生站在一起，有多少種不同的站法？

解：把3名女生“捆綁”在一起看成一人，與5名男生一起看作6人，共有A種排法；又3名女生有A種排法；根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理共有排法AA=4320（種）。

注：運(yùn)用捆綁法解決排列問(wèn)題時(shí)，一定要注意“捆綁”起來(lái)的內(nèi)部的順序問(wèn)題。

3 相隔問(wèn)題插空法

不相鄰問(wèn)題是指要求某些元素不能相鄰，由其它元素將它們隔開(kāi).解決此類(lèi)問(wèn)題可以先將其它元素排好，再將所指定的不相鄰的元素插入到它們的間隙及兩端位置，故稱(chēng)插空法。

例3：在例2中，求女生彼此不相鄰的站法有多少種不同？

解：先將5名男生站好，有A種排法；每相鄰的兩個(gè)男生之間留一個(gè)空位，有4個(gè)空位，加上兩邊的兩個(gè)空位，共7個(gè)空位，在7個(gè)空位中選3個(gè)空位排3名女生，有A種排法；根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理共有排法AA=25200（種）。

注：運(yùn)用“插空法”解決不相鄰問(wèn)題時(shí)，要注意欲插入的位置是否包含兩端位置。

4 分配問(wèn)題隔板法

就是在n個(gè)相同的元素間的（n-1）個(gè)空中插入k個(gè)板，可以把n個(gè)元素分成k+1組的方法。

例4：把12個(gè)蘋(píng)果分給4個(gè)人，每人至少一個(gè)，有多少種不同的分法？

分析：建立隔板模型：將12個(gè)蘋(píng)果排成一列，在它們之間形成的11個(gè)間隙中任意插入3塊隔板，就可以把蘋(píng)果分成4份，每人得一份。

所以該題答案是：C=165（種）。

5 順難則反，逆向思維

有的排列組合的題目從正面分析較難，而從反面思考往往比較容易。

例5：以正方體的八個(gè)頂點(diǎn)為頂點(diǎn)可以組成多少個(gè)不同的四面體？

分析：若直接考慮哪四個(gè)點(diǎn)能構(gòu)成四面體，情況十分復(fù)雜，而從反面考慮哪四個(gè)點(diǎn)不能構(gòu)成四面體，就比較容易。

不能構(gòu)成四面體有正方體的6個(gè)面和6個(gè)對(duì)角面，這12個(gè)面上的四個(gè)點(diǎn)不能構(gòu)成四面體，其他四個(gè)點(diǎn)都能構(gòu)成四面體。故本題答案為：C-12=58（個(gè)）。

6 順序固定用“除法”

元素按一定的順序排列問(wèn)題，可先把這幾個(gè)元素與其他元素一同進(jìn)行全排列，然后用總的排列數(shù)除于這幾個(gè)元素的全排列數(shù)。

例6：6個(gè)人排隊(duì)，甲、乙、丙三人按“甲——乙—— 丙”順序排的排隊(duì)方法有多少種？

分析：不考慮附加條件，排隊(duì)方法有A種，而其中甲、乙、丙的A種排法中只有一種符合條件。故符合條件的排法有A÷A=120種。

7 有序分配問(wèn)題逐分法

例7：有6本不同的書(shū)，按照以下要求處理，各有幾種分法？

（1）平均分給甲、乙、丙三人。（2）甲得一本，乙得兩本，丙得三本。

解：（1）每人得2本，可考慮甲先在6本書(shū)中任取2本，取法有C種，再由乙在余下的書(shū)中取2本，取法有C種，最后由丙取余下的2本，有C種取法；

所有取法為CCC=90（種）。

（2）選取方法同（1），所以共有取法數(shù)為CCC=90（種）。

點(diǎn)評(píng)：有序分配問(wèn)題是指把元素按要求分成若干組，常采用逐步分組法求解。

8 分排問(wèn)題用“直排法”

把幾個(gè)元素排成若干排的問(wèn)題，可采用統(tǒng)一排成一排的排法來(lái)處理。

例8：7個(gè)人坐兩排座位，第一排3個(gè)人，第二排坐4個(gè)人，則不同的坐法有多少種？

分析：7個(gè)人可以在前兩排隨意就坐，再無(wú)其它條件，故兩排可看作一排來(lái)處理，不同的坐法共有A種。

排列組合的解題方法還有很多，對(duì)于同一問(wèn)題有時(shí)還有多種方法，因此，要提高思維能力和嚴(yán)密推理能力，認(rèn)真思考和分析，找到最佳解題思路，選取最佳解題方法。只有學(xué)好基礎(chǔ)，掌握一些常見(jiàn)的解題方法，提高思維能力和嚴(yán)密推理能力，才能真正的學(xué)好排列組合。

參考文獻(xiàn)

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