以不等式為例談數學學習方法

數學與其他學科除了研究對象不同外，最突出的特點在于數學對象內部規律的準確性，每一個結論的得出都必須經過嚴密的邏輯推理來證明，數學的這種證明與其他學科相比更具有形式化、靈活性、適度性、多樣性的特點，尤其是在不等式的證明過程中。數學是一門很抽象的學科，要想學好數學，必須講求方法，尋求規律，缺乏有效的方法，不僅談不上效率，而且問題也不能解決，事情更不能成功。數學是一門很精確的學科，除了上機外，很少實驗，主要依靠合理的抽象思維，這樣就加重了學習方法的份量，在學習數學時，必須講求方法，研究數學時更是如此。我認為學數學一定要做到數學的七化，即“細化”、“類化”、“活化”、“升化”、“深化”、“數學化”、“簡潔化”。

升化：就是融合多方面的知識，站在比較高的角度，把離散的、零碎的統一起來，比如，中學數學里，圓、橢圓、雙曲線、拋物線簡單的統一于極坐標方程?籽＝e·p（1-e·cos?茲），其中，e為離心率，再則，定積分、二重積分、三重積分、曲線積分、曲面積分，它們從本質上都是某種特殊和式的極限，它們從極限的理論得以統一，這種和諧與統一的確給人一種“欲窮千里目，更上一層樓”的美感。

數學化：也即翻譯數學，每一個數學問題，都要能用數學的語言將問題翻譯出來。比如說：函數極限的概念：“當自變量x無限的趨近固定的x0時，其函數值趨向某一個常數A，這個常數就叫x趨近于x0時函數的極限。”，這個概念很抽象，怎么樣才能夠算是無限接近x0呢？我們衡量有沒有指標。如有，指標是什么，通過學習后我們知道衡量這個指標就是“對于任意給定小的正數?著，都能夠找到一個正數?啄，當任意x滿足0＜x-x■＜?啄時 ，都有f（x）-A＜?著成立，我們稱A是x?坂x■時，函數f（x）的極限值，用ε-δ語言表述為：

?坌?著＞0，?堝?啄＞0，?坌x（0＜x-x■＜?啄）都有不等式f（x）-A＜?著成立。

簡潔化：數學不同于文學，對問題的解決只需簡單條理清晰即可，不需要冗長贅句。

以上是我認為學習數學的基本方法，在實踐中如何應用呢？本篇以不等式的證明和函數的聯系加以說明。

一個數學問題往往含有多個變量，研究彼此之間的關系，常常歸結于不等式問題，不等式作為一種工具，蘊含著豐富的思想，因而，不等式的證明，既是重點，也是難點。它并不是無規可循，常用的證明方法有如下幾種“比較法”，“分析綜合法”，“放縮法”，“反證法”，“數學歸納法”，“積分法”，“函數單調性法（函數思想法）”，“凸函數法”，下面結合例子介紹部分方法：

1.放縮法：要證f（x）＜g（x）（或f（x）＞g（x），又易證f（x）＜h（x）則只須證h（x）＜g（x）即可，遇到這樣的不等式問題就涉及到不等式的放大或縮小，不等式的放大或縮小不是任意的，必須要適度， 既不能放得過大，也不能縮得太小，有很多的放縮技巧，要善于觀察題目的特點，再向目標放縮。

例1.n是自然數，求證■（1+■+■+……+■）＞■-1（摘自《高中數學新課程內容解析》）

證明：先看第一種放縮：要證■（1+■+■+……+■）＞■-1

只須證1+■（1+■+■+……+■）＞■即可。

因為1+■（1+■+■+……+■）＞1+■=1+■（算術平均數不小于調和平均數）所以1+■（1+■+■+……+■）＞1+■由伯努利(Bernoulli)不等式，當x＞-1，0＜a＜1時，1+ax≥（1+x）■，當且僅當x=0取等號，取a=■，x=n則有，1+■＞（n+1）■顯然當n＞2時，■＞（■）■。

故放縮過大無法得到要證的結論。

看以下正確證法

要證■（1+■+■+……+■）＞■-1只須證

1+■（1+■+■+……+■）＞■即可，不等式兩邊同時乘以n，則有n+1+■+■+……+■＞n·■，現在就是不等式放縮技巧所在，將n寫成n=1+1+……+1這里共有n個1，則有n+1+■+■+……+■=（1+1）+（1+■）+（1+■）+……+（1+■）

=2+■+■+……+■（這一步很關鍵）

而2+■+■+……+■＞n·■=n·■（均值不等式的推廣）

這就是要證的不等式，故命題得證。

注：例1有很大的綜合性，靈活性，綜合考察了不等式的放縮法和比較法，必須善于挖掘題目的隱含條件。

2.積分法：在某些高等不等式的證明過程中，部分關于自然數的不等式或某些關于自變量的不等式，可以用積分法證之。請看下例：

例2.n是自然數，證明■＜ln（n+1）-ln（n）＜■

證明：由于■■dx=ln（n+1）-ln（n）（構造這一步很關鍵，要求對積分很熟悉）

而當n≤x≤n+1時有，■＜■＜■，所以，兩邊從n到 n+1積分得：■■dx＜■■dx＜■■dx，即■＜ln（n+1）-ln（n）＜■，這是一個很簡單的用積分法證明的不等式，說明不等式的證明復雜多樣，靈活多變。

3.函數的單調性法：這種方法也稱函數思想證明法，這種方法將函數與不等式緊密地聯系起來，適用于部分關于自變量的不等式和帶有自變量的不等式的證明，要證f（x）＜g（x），（f（x）＞g（x）類似），x∈（x■，x■），令h（x）=f（x）-g（x），只須證F（x）＜0， x∈（x■，x■）進一步只須證以下兩種情形之一即可。

若■=■-■＞0，則h（x）在區間（x0，x1）單調遞增，且 h（x■）＜0，或者，若■=■-■＜0，則h（x）在區間（x0，x1）單調遞減，且h（x0）＜0即可，某些形如：f（x）＜f（x+a），（a∈R，a≠0）型不等式，若a>0，只須證■＞0即可，若a<0，只須證■<0，即可，請看下例：

例3.n是自然數，求證（1+■）■＜（1+■）■（摘自《高中數學新課程內容解析》）

證明：本例顯然為f（x）＜f（x+a），（a∈R，a≠0）型不等式，故令f（x）=（1+■）■，x≥1，則有ln（f（x））=xln（x+1）-ln（x）

■=ln（x+1）-ln（x）+■-1（1+■）■=ln（1+■）-■（1+■）■

而當x≥1時，ln（1+■）-■＞0，而（1+■）■＞0，所以■＞0，故f（x）在區間[1，+∞）單調遞增，即有f（x）＜f（x+1）將x換為n即得所證不等式：（1+■）■＜（1+■）■

本題也可以用均值不等式證明：

（1+■）■=1×（1+■）×1+■）……×（1+■）(將（1+■）■寫成1與n個（1+■）■相乘)＜■■=（1+■）■（幾何平均數不大于算術平均數）

4.凸函數證明法：設f（x）在區間I內有定義，若對任何的相異的x■∈I，x■∈I和任給的?姿∈R■，?滋∈R■且?姿+?滋=1，總有f（?姿x■+?滋x■）≥?姿f（x■）+?滋f（x■）則稱f（x）在區間I內上凸，若不等號相反，則稱f(x)在區間I內下凸。

若f（x）在I內二階可導，則有如下判定定理：

若■＞0，x■∈I，則f（x）在區間I內下凸；

若■＜0，x■∈I則f（x）在區間I內上凸。

設f（x）在區間I內上凸，則對任意的x1，x2，……，xn∈I任給的?姿1，?姿2，……，?姿n∈R■且?姿1+?姿2+……?姿n=1■，則有f（?姿■x■+?姿■x■+……?姿■x■）≥?姿■f（x■）+?姿■f（x■）+……+?姿■f（x■）

等號當且僅當x■=x■=……=x■時成立

若f（x）在區間I內下凸，則不等號方向相反

若f（x）在區間I內上凸，特別地取?姿■＝?姿■=……=?姿■=■，則有f（■）≥■

等號當且僅當x■=x■=……=x時成立，若f（x）在區間I內下凸，則不等號方向相反。

不等式的證明方法多樣，有時需綜合運用，靈活處理，這里只講述幾種常見的證明方法。