淺談中學數學教學中的抽象性思維

摘 要 新課程改革后，中學教材加大了對實例教學的重視，將很多抽象的數學概念情境化，提高了學生的形象思維能力，但在實際教學過程中，教師往往過度使用這種還原性教學方法，忽視了培養學生向抽象性思維的發展。文章從數學抽象性的內涵出發，結合抽象性與中學數學的聯系，提出了若干抽象性思維培養的教學策略。

關鍵詞 實例教學；中學數學；抽象性；教學策略

數學是一門揭示事物之間普遍聯系的語言，具有高度的抽象性、邏輯的嚴密性和廣泛的應用性。從遠古時期的結繩記事到現代計算機科學的發展，人類文明的每一次進步都離不開數學的發展。浩瀚的宇宙，宏偉的工程，精美的建筑，瞬息的決策，微小的粒子，無處不有數學的身影，數學已經滲透到了生活中的各個領域。

一、數學抽象性的內涵

抽象性是數學的本質特征之一，它拋棄了客觀對象的特殊屬性，概括了研究對象之間普遍的本質聯系，揭示了其中蘊涵的空間形式與數量關系。事實上，人在處于幼兒時期時便有了接觸抽象的過程，此時人正處于對世界認知的初始階段。幼稚園的老師在教習簡單加法時，不會通過給出加法的定義，讓兒童按照定義去計算1+2的結果，而是通過掰手指或者數木棍等游戲的方式，讓兒童在數數的過程中具象地得出1+2=3，然后老師再將手指、木棍換成蘋果、棒球等其他事物，引導他們得出同樣的結果，在這個過程中兒童意識到了1+2的結果與對象的質地、大小、形狀無關，意識到其中隱含著一種共性，形成了量的概念，這個過程便是一種由具體到抽象的過程。類似地還有三角形，它是人們撇開事物本身的物理屬性、生物屬性、化學屬性等，抽象其外在空間形式得到的。因此，人對世界的認識是在不斷的抽象過程中建立起來的。

二、數學抽象性與中學數學

數學是由具體到抽象的過程，是抽象的程度由低到高的過程，也是應用范圍由高到低，由狹窄到廣泛的過程。

1.逐級抽象

自小學到中學階段，數經歷了自然數-整數-有理數-實數-復數的演變過程，即群-環-域的逐級抽象過程，而運算則由數的加、減、乘、除等二元運算轉變為代數式，式轉變為函數，函數則抽象為映射的概念，映射即為關系，歸為集合。二元一次方程為我們提供了線性方程組的原型，進而演變出線性空間的概念，其求解方法即為線性變換，延伸出了線性相關、線性無關的概念。同時，在中學數學中，負數與正數互為加法逆元，0為加法單位元，誘導出減法運算法則，即減去一個數等于加上它的相反數（逆元），非零實數及其倒數互為乘法逆元，1為乘法單位元，誘導出除法法則，即除以一個非零數等于乘以它的倒數（逆元）。若再將集合之間的映射作為數，構造出單位映射、逆映射，則得到反函數的概念。由此可以看出數學的抽象性是一種逐級抽象的過程，數學抽象往往是在低一級抽象基礎上的再抽象。

2.逐級應用

中學數學把大量實際問題抽象成了數學問題，其目的是使學生形成數學的意識，并利用數學意識學會解決實際問題，即具體-抽象-具體的過程。例如，在引入“雞兔同籠”的問題時，提出了二元一次方程組的概念，事實上它是向量空間的二維形式，而方程組的解即為線性解空間。在這個過程中，我們首先將向量空間應用為線性方程組，再具體到二元情形，對于解法也是先將向量空間的線性變換應用到線性方程組，即高斯消元法，再具體到二元情形，即加減消元、換元消元。所以，數學抽象的應用性又是一種逐級應用的過程，是在上一級應用基礎上的再應用。

三、抽象性教學策略

隨著中學數學代數與幾何觀念的逐步深入，出現了很多新的概念和命題，極其抽象。大部分情況下，教師都是采用單刀直入的方式直接傳輸知識，學生并不知道它們的原型是什么，為何要這么定義，又有什么樣的實際應用，沒有形成系統的數學觀念，導致在碰到一些問題時，抽象性思維不夠，又沒有源頭可循，難以找出有效的解決方法。因而，在課堂教學中抽象性思維教學策略就顯得尤為重要。

1.從問題出發的教學模式，培養抽象思維

愛因斯坦曾說：“提出一個問題往往比解決一個問題更重要”。一個好的問題是學生有效接受新知識的關鍵，它蘊含著很多基本的數學思想。因為學生在問題中要發揮創造性的想象力，利用抽象思維去尋找問題所蘊含的數學規律，發現共性，大膽提出新的概念或結論。例如，在著名的哥尼斯堡七橋問題中，歐拉將陸地抽象為頂點，橋抽象為無向邊，將七橋問題抽象為一筆畫問題。更進一步地，他從問題的普遍性出發，將更一般的對象，例如人、城市、國家甚至思維等抽象為頂點，忽略其各種屬性，如質量，大小，形態等；將研究對象之間的關系，如朋友關系，連通關系，從屬關系等抽象為邊，提出了圖的概念，開創了圖論的歷史新紀元，歐拉在解決這一問題中所用的思維方法就是抽象方法。

2.降低知識的抽象難度，靈活轉換空間形式與數量關系

很多數學概念是在原有抽象概念基礎上進行的二次抽象，教學中應降低知識的抽象難度，最大限度的調動學生的思維。例如在講解向量代數與空間幾何時，要讓學生體會到代數和幾何是相互滲透不可分割的。數軸是一維空間的代數，平面幾何是二維空間的代數，空間解析幾何則是三維向量空間的代數。高中數學教材中，幾何問題的解決方法一般有兩種：向量代數法和綜合幾何法。前者比較刻板，程序化，它通過建立適當的笛卡爾坐標系，將幾何問題轉換為向量代數問題，再將代數問題轉換為數量問題；后者比較靈活有趣，但變化多端，不容易掌握，通常需要構造一些輔助圖形。一般情況下，數量的計算具有易操作性，適用于每個學生，而圖形的轉換則需要個體更多的想象能力。類似地，圓與圓、圓與直線的空間關系可轉換為圓心距及點與直線距離的關系，這充分體現了空間形式與數量關系的統一。

3.運用各種教學手段教學解決抽象性問題

在小學時期，形象思維法是反復使用的教學方法，它通過構造事實的過程完成對知識的實踐與探索。例如在講解圓錐體、圓柱體的表面積及體積公式時，教師會運用幾何體模具，以及剪刀，水等，通過動手演示操作，有效的引導了學生推導出公式。到了中學，概念更加豐富，抽象，從表達式上去理解是遠遠不夠的，而實例模型的構建也變得困難，此時多媒體教學便可一展身手。現代多媒體教學是一種有效的教學手段，其生動性，形象性，可操作性為教師與學生之間的互動提供了有效的平臺，為培養學生的抽象思維留下了充足的空間。例如，在講解橢圓的定義時，既有動點到定點的距離之和等于定長的定義，也有動點與定點的距離與動點與定直線之間的距離之比等于常數的定義。對于中學生來說，很難通過這兩個定義去理解橢圓的幾何特性，對焦點，離心率的認知也只能停留在公式的記憶上。事實上，若能充分利用幾何畫板軟件，根據定義中動點的特性形象地描繪出動點的軌跡特征，可有效提高學生對橢圓及其參數的理解，并掌握不同定義之間的等價性。同時，在這個過程中，使學生意識到動態與靜態之間的轉變，變量與不變量之間的聯系。

總之，數學的抽象性不是指晦澀難懂，深不可測，亦不是脫離實際，莫名其妙。數學來源于生活，高于生活，并最終回歸于生活。在教學過程中我們應從實際問題出發，用生動的數學語言描述，結合有效的現代教學手段，將形象思維和抽象思維反復結合，靈活轉換空間形式和數量關系，充分提高課堂的有效性，培養學生的抽象性思維。

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