幾何圖形建模教學點滴談

數學建模是一種數學的思考方法，是運用數學的語言和方法，通過抽象、簡化，建立能近似刻畫并解決實際問題的一種強有力的教學手段。筆者認為，數學不僅要研究“數”——整數、小數、分數，偶數、奇數，質數、合數……還要研究“術”——技巧、方法，學生不應該學一會一，而應該觸類旁通、舉一反三。建立解決同一類問題的模型，正是一種“術”。

數學建模的教學本身是一個不斷探索、不斷創新、不斷完善和提高的過程。為了改變過去以教師為中心，以課堂講授為主，以知識傳授為主的傳統教學模式，基于此，數學建模的指導思想就是以學生為中心，以問題為主線，以培養能力為目標組織教學。所以，在幾何圖形的教學中，筆者注重加強圖形知識之間的縱向聯系，幫助學生構建知識結構模型。

一位數學家這樣描述幾何學：“歐幾里得幾何建立了很簡單直觀、能為孩子們所接受的數學模型，然后教會他們用這樣的數學模型去思考去探索。點、線、面、三角形和圓──這是一些多么簡單又多么自然的數學模型，卻能讓孩子們在數學思維的天地里樂而忘返。很難想像有什么別的材料能夠這樣簡單同時又這樣有成效。”所以，教學幾何圖形，我遵循了“積點成線、織線為面、終成一體”的研究體系。本文僅對小學階段的封閉圖形談一些粗淺的作法。

點是線和面的基礎，積點成線。點既擁有線的優勢，又有自己的特征。點是最簡潔的形狀，點的連續排列形成線，距離越近時，線的特征越明顯。所以，學生認識圖形時先從點開始感知。線是關鍵，線和線之間的關系是圖形之間的區別所在，面和體是對圖形的二維、三維的認識，如果說點和線是對圖形微觀的研究，那么面和體是對圖形宏觀的把握。

一、初步感知積點成線、織線為面——低年級的幾何圖形教學

課程標準要求低年級學生通過觀察、操作實物或模型，會辨認長方形、正方形、三角形、圓等平面圖形和長方體、正方體、圓柱、球等立體圖形。兒童生活的世界和所接觸的事物大都與圖形和空間有關，入學前已經有了一些關于物體形狀和圖形的感性經驗。小學低年級的幾何教學，主要目的在于幫助學生逐步發展起空間觀念。因此，筆者注意利用兒童已有經驗，通過大量、豐富的觀察、操作、游戲等活動，豐富學生對物體的形狀和圖形的感性認識，體驗圖形的一些特征，激發學生學習空間與圖形知識的興趣。

如何辨認立體圖形呢？第一步看點——頂點，立體圖形中能摸到尖尖的頂點的圖形是長方體、正方體、三棱柱，而摸上去很光滑、能滾動的則是圓柱體和球體。第二步，積點成線。這里的線是我們俗稱的“邊”——邊緣，長方體、正方體、三棱柱都有很多邊，而圓柱體只有兩條彎彎的邊，球體沒有邊，所以圓柱體可以沿著彎彎的邊滾動，球體可以隨意轉動。

那么如何辨別平面圖形呢？在學習“認識平面圖形”一課時，隨著一聲悅耳的音樂聲，上課伊始，教師拿出的不再是粉筆，學生面前擺的不再是課本，而是各種形狀的積木、五顏六色的畫筆。讓學生用畫筆去描畫積木的一個面，用剪刀剪下這個形狀，自己去觀察、去思考、去尋找、去發現平面圖形（長方形、正方形、圓形、三角形）的形狀和特征，學生會很直觀地發現它們之間的不同：點——四個頂點的是長方形、正方形，三個頂點的是三角形，沒有頂點的是圓形；邊——相連的兩條邊要像課桌角、課本角一樣正正方方的，通過對折，邊一樣長的是正方形，有的邊長、有的邊短的是長方形。然后用自己剪下的平面圖形去創作一幅美麗的畫面，從而加深學生對平面圖形的認識，感受到“面”在“體”中，同時開拓了學生的思維、培養學生的想象力。

二、深入探究積點成線、織線為面——中年級的幾何圖形教學

中年級的幾何圖形教學主要是在平面圖形中展開。通過觀察、操作，初步認識長方形、正方形、三角形、平行四邊形、梯形的特征。對應低年級的學習內容，從感知、辨認層面到對圖形特征的研究，教學也要從點、線、面三個層次展開。圖形有幾個頂點？幾條邊？邊和邊之間有什么關系？周長是多少？面積怎樣計算？這都是中年級幾何圖形教學的內容。比如：筆者在教學四邊形時，首先展示整個主題圖的畫面。然后圍繞問題“你發現了哪些圖形”，先讓學生仔細觀察，并與小組同學交流自己發現的各種圖形，如長方形、正方形、圓形、三角形、菱形、平行四邊形和梯形等，以此導入有關四邊形的教學。然后讓學生從眾多的圖形中區分出四邊形，并感悟到四邊形有四條邊和四個角。最后對各種四邊形分類，讓學生對不同的四邊形的特性有所了解，特別是加深對長方形、正方形的認識，得出“長方形的對邊相等，正方形的四條邊都相等，它們的四個角都是直角”。

三、面面俱到，終成一體——高年級的幾何圖形教學

把平面圖形轉化為立體圖形是“空間與圖形”這一學習板塊中較為抽象的內容。要構建這一由形平面圖形轉化為立體圖的數學模型，必須讓學生在“說一說”、“擺一擺”的操作中掌握“擺”的方法。學生的空間知識來自豐富的現實原型，只有在頭腦中具備了較為清楚的表象，才可能脫離實際物體，在頭腦中形成清楚的圖形。培養學生的空間觀念，要充分利用學生生活中的事物，引導學生探索圖形的特征，豐富空間與圖形的經驗，建立初步的空間觀念。如：教學“長方體和立方體”時，教師首先喚起學生生活經驗，在課前要求學生找到生活中的長方體或立方體，再讓學生在互相交流中，將腦中已有的立體圖形的形象與課本上學習的立體圖形結合起來。在課堂中，教師讓學生聯系手中材料對面、棱和點三個方面的特征展開猜想，并加以驗證。從而更加透徹地理解了立體圖形，腦中原先對于立體圖形的形象也上升到了數學的高度。

再如：研討“圓柱的體積”時，首先，讓學生準備圓柱形的黃瓜、蘿卜等物品，小組討論用什么方法能求出圓柱形黃瓜或蘿卜的體積。有的學生提議把蘿卜割拼成長方體，再用長方體體積進行計算；有的學生提議把圓柱形的黃瓜放入盛滿水的長方體容器里，溢出水的體積就是圓柱體黃瓜的體積……這時教師抓住時機讓學生活動起來動手操作，驗證自己的設想。在活動中，讓學生思考自己的方法好不好、有沒有需要改進的地方。學生一邊討論一邊操作，經過討論，幾個小組一致認為用割拼的方法，把圓柱體拼成近似的長方體來求它的體積比較好。在這種情況下讓學生繼續分組討論怎樣求圓柱體體積，并動手量一量、測一測、算一算。在小組互相爭執中，學生的知識逐步完善，達成共識，找出圓柱體與長方體的關系，圓柱體與它拼成的長方體等低等高，圓柱的體積近似等于長方體的體積。經過小組嘗試操作、探討交流，學生一點一點地探討出真知，經歷了由不會到會、由提出問題到解決問題的過程，學生不但學得扎實，在教師設計的真實情境中獨立提出問題、解決問題，全身心地投入，而且培養了探究知識的能力。

總之，“積點成線、織線為面、終成一體”的建模教學，能夠培養學生應用數學的意識和自主、合作、探索、創新的能力，為學生的可持續發展和終身學習奠定基礎。學生可以加深對幾何知識的理解，內化所學知識。在數學幾何圖形教學過程中，有效地滲透數學建模思想，不僅可以使學生體會到數學并非只是一門抽象的學科，而且可以使學生感受到利用數學建模思想結合數學方法解決實際問題的妙處，進而促進學生對數學產生極大的興趣。數學建模思想的形成是一個循序漸進的過程，是數學能力和其他能力協同發展的過程。因此，在數學課堂教學中，教師應逐步培養學生數學建模的思想，使之形成良好的思維習慣和應用數學的能力，使數學建模思想在小學數學課堂中得到廣泛的應用。