例談變式教學(xué)在高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)中的應(yīng)用

數(shù)學(xué)概念教學(xué)是課堂教學(xué)的一個重要組成部分，在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，特別是在新課標(biāo)理念下的課堂教學(xué)中，讓學(xué)生深刻理解并準(zhǔn)確掌握數(shù)學(xué)概念是學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、提高學(xué)習(xí)成績的前提，也是培養(yǎng)學(xué)生能力的關(guān)鍵。在概念教學(xué)中，變式教學(xué)是常用的方法。通過圖形變式、語言變式、符號變式、公式變式等，可使學(xué)生對概念的本質(zhì)產(chǎn)生深刻認(rèn)識。概念性變式在教學(xué)中的主要作用是使學(xué)生獲得對概念的多角度理解。

一、通過直觀或具體的變式引入概念

數(shù)學(xué)概念教學(xué)不能簡單地給出概念，而應(yīng)通過直觀或具體的新舊知識的聯(lián)系，通過變式引導(dǎo)學(xué)生積極探索、發(fā)現(xiàn)并總結(jié)規(guī)律，感知新知識、新概念的基本屬性，從而幫助學(xué)生形成概念。

如在線面垂直的判定定理教學(xué)中，可以設(shè)計如下環(huán)節(jié)：首先復(fù)習(xí)線面平行的判定定理（用提問的形式），“平面外的一條直線平行于平面內(nèi)的一條直線，則這條直線平行與這個平面”；其次變化問法，“一條直線如果垂直與平面內(nèi)的一條直線，那么這條直線能否垂直與這個平面呢？”讓學(xué)生動手實驗一下，很容易得出否定結(jié)論；進(jìn)一步變化問法，“一條直線不行，那么兩條直線是否成立”，學(xué)生通過實驗可以驗證，一條直線垂直與平面內(nèi)的兩條相交直線，那么這條直線垂直與這個平面，但兩條平行直線不行。

再如在橢圓定義教學(xué)中：首先復(fù)習(xí)圓的定義（用提問的形式），并用一段無彈性的繩子在黑板上做幾個圓心位置不同、半徑不同的圓，強(qiáng)調(diào)到定點的距離等于定長的點的軌跡叫圓，為下一步的變式做鋪墊。其次，設(shè)想定點由一個變兩個，且更換命題，“到兩個定點的距離的和為定值，結(jié)果又會怎樣，能否借助手中的繩子和圓規(guī)把命題敘述的這一過程表示出來”。通過實例操作，引導(dǎo)學(xué)生將一根無彈性的繩子系在圓規(guī)兩腳下端，用粉筆套住繩子，在黑板上移動粉筆，畫出一個封閉的幾何曲線，改變圓規(guī)兩腳的位置，再畫出幾個這樣的曲線并點題：這就是我們要學(xué)習(xí)的一類新曲線——橢圓。

這樣，通過聯(lián)系已學(xué)知識的變式引入，使學(xué)生明確活動目的，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，提取有關(guān)知識，為展開概念的復(fù)雜智力活動做好心理準(zhǔn)備。

二、通過非標(biāo)準(zhǔn)變式突出概念的本質(zhì)屬性

數(shù)學(xué)概念非常精煉，寓意深刻，引入之后要把概念講清楚、講準(zhǔn)確，要對概念做辯證的分析。通過變式，仔細(xì)推敲概念中的每一詞、句，用不同的方法揭示不同概念的本質(zhì)，通過對本質(zhì)特征的分析，加深對整個概念的理解。

例如差數(shù)列的概念：一般地，如果一個數(shù)列從第二項起，每一項與前一項的差等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫等差數(shù)列。在等差數(shù)列的概念教學(xué)中，如何理解“從第二項起”與“同一個常數(shù)”這兩組關(guān)鍵詞，我們可以構(gòu)造變式說明：如果沒有“從第二項起”的限制，第一項不能與前一項相減；如果沒有“同一個常數(shù)”，舉反例1、3、5、6、12，從第二項起，每一項與前一項的差等于常數(shù)，但此數(shù)列不是等差數(shù)列，從而說明這兩組詞缺一不可。

再如，橢圓的定義式，學(xué)生常常籠統(tǒng)地記為：到兩定點的距離之和為定長的點的軌跡，教學(xué)時，可以設(shè)計以下問題鏈，讓學(xué)生討論：①平面上的動點P到兩定點（-3，0），（3，0）的距離之和為4，則P點的軌跡是什么？②平面上的動點P到兩定點（-3，0），（3，0）的距離之和為6，則P點的軌跡是什么？③平面上的動點P到兩定點（-3，0），（3，0）的距離之和為8，則P點的軌跡是什么？通過分析容易得到：①當(dāng)2a<2c時，軌跡不存在；②當(dāng)2a=2c時，軌跡為一條線段；③當(dāng)2a>2c時，軌跡為橢圓。這樣就有效地加深了學(xué)生對橢圓概念中“a>c”這一條件的理解。

對于數(shù)學(xué)概念建立真正的認(rèn)識和理解是不容易的，應(yīng)用變式教學(xué)，可以把易錯、易混、易漏等問題串聯(lián)起來，使學(xué)生更容易理解并掌握概念的本質(zhì)。

三、通過非概念變式明確概念的內(nèi)涵與外延

有些概念，由于其內(nèi)涵豐富、外延廣泛等原因，很難一步到位，需要分成若干個層次，逐步加深提高。

比如：學(xué)生在初中學(xué)習(xí)過概率、概念，并且通過一些具體實驗，初步建立了頻率與概率相關(guān)的知識體系。學(xué)習(xí)了概念后，筆者出幾個變式問題讓學(xué)生辨析：（1）只要試驗次數(shù)足夠大，頻率m/n就可以作為概率的估計值，到底多少是足夠？對于破壞性實驗，比如導(dǎo)彈發(fā)射，是否也要很多次呢？（2）頻率的穩(wěn)定值就是概率，對于投擲硬幣實驗，如果我們不知道概率為0.5，如果選用0.4996作為概率是否正確？（3）頻率是不斷變動的，而概率卻是確定的值，這是否與我們所認(rèn)識的確定性數(shù)學(xué)的經(jīng)驗相悖？概率的頻率定義，反映了在大量重復(fù)試驗的條件下，隨機(jī)事件發(fā)生的頻率的穩(wěn)定值就是概率的性質(zhì)。其中，頻率的隨機(jī)性表現(xiàn)為隨著時間和人物改變而變化，頻率的規(guī)律性表現(xiàn)為頻率穩(wěn)定于某個常數(shù)，上面三個變式問題的回答就是對這一內(nèi)容內(nèi)涵的的深刻理解。

再如：函數(shù)的周期性和最小正周期是學(xué)生難以理解的概念，在學(xué)生了解其概念后，為了幫助學(xué)生準(zhǔn)確把握函數(shù)的函數(shù)周期性和最小正周期的外延，可以設(shè)計以下問題鏈，讓學(xué)生討論：通過研究上述問題，學(xué)生可以弄清周期函數(shù)定義域的結(jié)構(gòu)特征、最小正周期的存在狀況、周期函數(shù)函數(shù)值的分布規(guī)律以及周期函數(shù)的圖像特征。在此基礎(chǔ)上，學(xué)生才能真正弄清周期函數(shù)、最小正周期的概念，學(xué)生的認(rèn)識結(jié)構(gòu)也從“了解”上升到“理清并掌握”的層面。

總之，在新課標(biāo)理念下做好數(shù)學(xué)概念課的教學(xué)，是學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的關(guān)鍵。教師在課堂教學(xué)中應(yīng)充分發(fā)揮變式教學(xué)的指導(dǎo)作用，有意識第引導(dǎo)學(xué)生從“變”的現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)“不變”的本質(zhì)，從“不變”中探求規(guī)律，使之能真正地掌握數(shù)學(xué)概念。