從一道考試題目談?wù)勅绾螡B透數(shù)學(xué)解題思想

中圖分類號：G632.3 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：B 文章編號：1002-7661（2013）34-151-01

在一次考試中對高二學(xué)生出了如下一道壓軸試題，解題情況是筆者帶的兩個(gè)平行班級僅有一人答對得滿分，絕大多數(shù)同學(xué)都只能答對一問，很少同學(xué)能答對第二問，只有一個(gè)同學(xué)答對第三問。題目如下：如圖所示，已知圓O：x2+y2=4，直線m：kx-y+1=0。

（1）求證：直線m與圓O有兩個(gè)相異交點(diǎn)。

（2）設(shè)直線m與圓O的兩個(gè)交點(diǎn)為A、B，求△AOB面積S的最大值。

（3）若動(dòng)點(diǎn)Q滿足OQ=OA+OB，求動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程。

第一問的解答大部分同學(xué)做的是正確的，但是也有些基礎(chǔ)差的同學(xué)沒有做對，具體體現(xiàn)在：1、對如何判斷直線與圓的位置關(guān)系還沒有形成一個(gè)清晰的思路，腦海中還是一團(tuán)亂麻。2、有的同學(xué)知道可用幾何法判斷，但是對簡單的不等式放縮都沒有掌握。如有的同學(xué)得不出來，反映了對不等式的性質(zhì)很陌生，這一問主要突出解析法的特點(diǎn)因此可用聯(lián)立消元y轉(zhuǎn)化成一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程，通過一元二次方程實(shí)根的個(gè)數(shù)來判斷直線與圓的位置關(guān)系，通過代數(shù)的方法（實(shí)根的個(gè)數(shù)）來研究幾何問題（直線與圓的位置）應(yīng)該滲透這種解析法（坐標(biāo)法）思想，對于我們學(xué)習(xí)后面的直線與圓錐曲線的相交問題是很有必要的。而且向?qū)W生指出該法才是通法，而幾何法只是針對圓這種特殊的對稱圖形。3、有同學(xué)通過直線恒過定點(diǎn)（1，0），而這個(gè)點(diǎn)在圓O內(nèi)，所以直線與圓相交也可。

第二問求三角形面積最大值，是個(gè)最值問題，有些典型的錯(cuò)誤：1、有同學(xué)如下解答，將面積表示成角的一個(gè)函數(shù)，當(dāng)取等號。但是很多同學(xué)沒有考慮到時(shí)，點(diǎn)O到直線m的距離是這是錯(cuò)誤的。這說明很多同學(xué)平時(shí)解題的時(shí)候沒有去關(guān)注等號取得的條件。理解不到位。2、有同學(xué)如下解答，當(dāng)OCAB時(shí)面積最大，實(shí)際上此時(shí)三角形的高最大，但是面積的最值是由高和底共同作用的。（注C是直線過的定點(diǎn)（1，0））如果我們設(shè)O到AB的距離是d，則弦長

所以可以看成關(guān)于的一元二次函數(shù)，求出最大值是。有的同學(xué)使用了基本不等式，但是等號取不到，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即，與矛盾。還是學(xué)生沒有關(guān)注等號，這跟教師平時(shí)的教學(xué)缺位也有關(guān)系。3。有同學(xué)對整體的思想理解不到位，他們具體化了，當(dāng)然這樣本沒有錯(cuò)，但是由于他們沒有足夠的能力駕馭這道題目，所以還是犯了錯(cuò)誤。弦長，，很多同學(xué)不知道如何處理這個(gè)求最大值的問題，有的同學(xué)采用基本不等式，還是等號取不到。有的同學(xué)對這樣的問題束手無策，實(shí)際上我們的基本思想是轉(zhuǎn)化，我們有把分子分母中的變量化掉一個(gè)，這樣才能求最值。為此我們換元，我們換元的目的是把分母變成單個(gè)元，然后采用分離常數(shù)的方法，具體如下：令，求出S的最大值。

第三問基本上沒有同學(xué)解出來，作為重點(diǎn)中學(xué)高二的的學(xué)生兩個(gè)班級一百多人僅有一人能解答出來，這是很不正常的，說明很多同學(xué)對軌跡方程是什么，如何求，有哪些解決途徑，都是一頭霧水。實(shí)際上第三問，是一個(gè)以向量為載體的考察軌跡方程的題目。所以我們可以從“數(shù)”和“形”兩個(gè)角度來思考。第一：從數(shù)的角度，選擇設(shè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)Q，A，B 告訴學(xué)生求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程就是找出與的關(guān)系，找出他們之間的關(guān)系式，高二學(xué)生還沒有完整的系統(tǒng)的接受如何求軌跡方程須向?qū)W生說明?；镜乃悸窇?yīng)該是用含的表達(dá)式表示出，所以我們采用聯(lián)立方程消去，得到一個(gè)關(guān)于的一元二次方程

，

消參數(shù)，得到將這個(gè)式子代回即可得到軌跡方程是。

第二：從形的角度，作出以O(shè)A，OB為鄰邊的平行四邊形OBQC，，則OBQC是菱形，AB與OQ相交于點(diǎn)M

AB垂直且平分OQ直線過定點(diǎn)C（1，0），連接QC，則，得到點(diǎn)Q的軌跡是以C（0，1）為圓心，以1為半徑的圓。方程是。第三問以向量為載體，向量是既有方向又有大小的量，向量的大小體現(xiàn)了它的代數(shù)性質(zhì)于是我們想到了解法一，完全從點(diǎn)的坐標(biāo)出發(fā)；向量的方向體現(xiàn)了它的幾何性質(zhì)于是我們想到了解法二，完全從作圖的角度出發(fā)。

總之教師評講試題應(yīng)該建立在對學(xué)生的學(xué)習(xí)情況（學(xué)情）的了解上，學(xué)生的錯(cuò)誤的解法都應(yīng)該成為教師了解學(xué)生思想動(dòng)態(tài)的，思考方向的第一手資料，而且可以通過學(xué)生的做法，來發(fā)現(xiàn)自己平時(shí)教學(xué)中的誤區(qū)。教師的教應(yīng)該是以學(xué)生為根本出發(fā)點(diǎn)，一切為了發(fā)展學(xué)生的能力，一切為了更有利于學(xué)生的學(xué)習(xí)提高。教學(xué)相長，學(xué)生和教師可以共同進(jìn)步。