函數(shù)定義域與思維品質(zhì)

中圖分類號：G632.3 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：B 文章編號：1002-7661（2013）34-161-01

思維品質(zhì)是指個體思維活動特殊性的外部表現(xiàn)。它包括思維的嚴(yán)密性、思維的靈活性、思維的深刻性、思維的批判性和思維的敏捷性等品質(zhì)。函數(shù)作為高中數(shù)學(xué)的主線，貫穿于整個高中數(shù)學(xué)的始終。函數(shù)的定義域是構(gòu)成函數(shù)的兩大要素之一，函數(shù)的定義域（或變量的允許值范圍）似乎是非常簡單的，然而在解決問題中不加以注意，常常會使人誤入歧途。在解函數(shù)題中強(qiáng)調(diào)定義域?qū)忸}結(jié)論的作用與影響，對提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)是十分有益的。

一、函數(shù)關(guān)系式與定義域

函數(shù)關(guān)系式包括定義域和對應(yīng)法則，所以在求函數(shù)的關(guān)系式時必須要考慮所求函數(shù)關(guān)系式的定義域，否則所求函數(shù)關(guān)系式可能是錯誤。如：

例1：某單位計劃建筑一矩形圍墻，現(xiàn)有材料可筑墻的總長度為100m，求矩形的面積S與矩形長x的函數(shù)關(guān)系式？解：設(shè)矩形的長為x米，則寬為（50-x）米，由題意得：

故函數(shù)關(guān)系式為：.

如果解題到此為止，則本題的函數(shù)關(guān)系式還欠完整，缺少自變量的范圍。也就說學(xué)生的解題思路不夠嚴(yán)密。因為當(dāng)自變量取負(fù)數(shù)或不小于50的數(shù)時，S的值是負(fù)數(shù)，即矩形的面積為負(fù)數(shù)，這與實際問題相矛盾，所以還應(yīng)補(bǔ)上自變量的范圍：

即：函數(shù)關(guān)系式為： （）

這個例子說明，在用函數(shù)方法解決實際問題時，必須要注意到函數(shù)定義域的取值范圍對實際問題的影響。若考慮不到這一點，就體現(xiàn)出學(xué)生思維缺乏嚴(yán)密性。若注意到定義域的變化，就說明學(xué)生的解題思維過程體現(xiàn)出較好思維的嚴(yán)密性。

二、函數(shù)最值與定義域

函數(shù)的最值是指函數(shù)在給定的定義域區(qū)間上能否取到最大（?。┲档膯栴}。如果不注意定義域，將會導(dǎo)致最值的錯誤。如：

例2：求函數(shù)在[-2，5]上的最值。

解：∵

∴ 當(dāng)時，

初看結(jié)論，本題似乎沒有最大值，只有最小值。產(chǎn)生這種錯誤的根源在于學(xué)生是按照求二次函數(shù)最值的思路，而沒有注意到已知條件發(fā)生變化。這是思維呆板性的一種表現(xiàn)，也說明學(xué)生思維缺乏靈活性。

其實以上結(jié)論只是對二次函數(shù)在R上適用，而在指定的定義域區(qū)間上，它的最值應(yīng)分如下情況：

（1）當(dāng)時，在上單調(diào)遞增函數(shù)；

（2）當(dāng)時，在上單調(diào)遞減函數(shù)；

（3）當(dāng)時，在上最值情況是：

，

.即最大值是中最大的一個值。

故本題還要繼續(xù)做下去：

∵

∴

∴

∴ 函數(shù)在[-2，5]上的最小值是- 4，最大值是12。

這個例子說明，在函數(shù)定義域受到限制時，若能注意定義域的取值范圍對函數(shù)最值的影響，并在解題過程中加以注意，便體現(xiàn)出學(xué)生思維的靈活性。

三、函數(shù)值域與定義域

函數(shù)的值域是該函數(shù)全體函數(shù)值的集合，當(dāng)定義域和對應(yīng)法則確定，函數(shù)值也隨之而定。因此在求函數(shù)值域時，應(yīng)注意函數(shù)定義域。

四、函數(shù)單調(diào)性與定義域

函數(shù)單調(diào)性是指函數(shù)在給定的定義域區(qū)間上函數(shù)自變量增加時，函數(shù)值隨著增減的情況，所以討論函數(shù)單調(diào)性必須在給定的定義域區(qū)間上進(jìn)行。

五、函數(shù)奇偶性與定義域

判斷函數(shù)的奇偶性，應(yīng)先考慮該函數(shù)的定義域區(qū)間是否關(guān)于坐標(biāo)原點成中心對稱，如果定義域區(qū)間是關(guān)于坐標(biāo)原點不成中心對稱，則函數(shù)就無奇偶性可談。否則要用奇偶性定義加以判斷。

綜上所述，在求解函數(shù)函數(shù)關(guān)系式、最值（值域）、單調(diào)性、奇偶性等問題中，若能精細(xì)地檢查思維過程，思辨函數(shù)定義域有無改變（指對定義域為R來說），對解題結(jié)果有無影響，就能提高學(xué)生質(zhì)疑辨析能力，有利于培養(yǎng)學(xué)生的思維品質(zhì)，從而不斷提高學(xué)生思維能力，進(jìn)而有利于培養(yǎng)學(xué)生思維的創(chuàng)造性。