高中數學教學中學生反思能力的培養研究

符進才

摘要：高中學生的邏輯思辨能力已經發展到了一定成熟階段。高中數學教師應該合理利用學生的思維特點，進行規律性、系統性的反思能力訓練。這對于豐富教師的教學方法和學生對于數學解題中進行一題多解思維方式和舉一反三的反思能力培養都有巨大的作用。

關鍵字：數學；一題多解；反思

在高中數學實踐中，教師和學生總是面臨這樣的困擾：一方面，教師反復強調了基礎性知識并作出了一定的發散性思維指導。另一方面，學生在面對同樣類型或是稍加改變的題目仍然不會解答。其實，反思能力的培養能夠完美解決這一教與學當中的矛盾。

一、數學反思的內涵和重要性

反思，顧名思義，就是思維反復操作進行的過程。反思這一動作可以發生在思考過程中的任意階段。反思的作用在于，重新梳理思維的過程，進而達到思維的完美狀態。數學是一門充滿邏輯和考證的基礎性學科，要求靈活轉變思維方式，不斷進行思維過程的反復。要求學生懂得在解決問題的過程當中發現問題，在發現問題的過程中解決問題。解題的反思能力包括多方面的能力，例如，對題意的反思，是否真正理解題意？對解題步驟的反思，解題步驟的順序是否影響了解題的難易程度？對解題方法的反思，是否有另一種解題方法？對概念的反思，是否真正理解基礎性的概念，能夠發現題目對于暗含概念的考查？對數學公式的反思，對于出題人寫出的公式變式，能否化繁為簡？對錯誤的反思，是否能從錯誤中發現問題癥結所在，力求不再犯同樣的錯誤？當然，這些反思的內容，不能只靠學生的自我操作來實現，學生的知識面和心智還不足以完成自我實現，還要依靠高中數學教師的開導和啟發。在教學的過程中，教師要主動培養學生反思的能力，特別是針對學生對于思維規律的反思。教師必須用舉一反三、反復訓練、殊途同歸等方法來鼓勵學生開動腦筋，發揮想象力和創造力解題，培養在教與學中反思思維規律的能力。這對于快速提高學生學習數學知識和解決數學問題的能力是最關鍵的。

二、反思方法的訓練和反思能力的培養

1.教師要培養學生的觀察能力，結合圖形，敏銳觀察，靈活運用各種公理、定理，如平面的基本性質，空間兩條直線的位置關系（相交、平行、異面），直線互相垂直的概念等，反復思考各種概念運用的情景，發揮想象力，進行圖形問題的總結。

例1：在正方體ABCD-A■B■C■D■中，O是底面ABCD的中心，M、N分別是棱DD■、D■C■的中點，則直線OM（ ）。

A.是AC和MN的公垂線. B.垂直于AC但不垂直于MN.

C.垂直于MN，但不垂直于AC. D.與AC、MN都不垂直。

錯解：B。

錯因：學生觀察能力較差，找不出三垂線定理中的射影。

正解：A。

例2判斷：若a，b是兩條異面直線，P為空間任意一點，則過P點有且僅有一個平面與a，b都平行。

錯解：認為正確。

錯因：空間想象力不夠。忽略點P在其中一條線上，或a與點P確定平面恰好與b平行，此時就不能過P作平面與a平行。

正解：假命題。

2.鼓勵學生從錯誤當中進行反思，找出錯誤原因，吸取經驗，爭取不犯同樣的問題。反思是一個過程，最關鍵的步驟是在解題后進行反思，思考自己做題時解題的思維軌跡和方法。對于錯題，學生要觀察在哪一步犯錯，犯的是什么錯誤，是概念理解不清，是公式運用錯誤？還是單純的計算錯誤或是其他原因。這一過程實際上相當于讓學生重新梳理了思維的過程，對于學生自我實現思維操作，提高解題能力，夯實概念、公式等基礎性學習內容有重要作用。

例3：如圖，已知在空間四邊形ABCD中，E、F分別是AB，AD的中點，G、H分別是BC，CD上的點。求證：直線EG，FH，AC相交于點T。

錯解：證明：∵E、F分別是AB，AD的中點，∴EF∥BD，EF=BD，

又■=■=2， ∴GH∥BD，GH=■BD，

四邊形EFGH是梯形，設兩腰EG，FH相交于一點T，

∵■=2，F分別是AD. ∴AC與FH交于一點.

∴直線EG，FH，AC相交于一點

正解：證明：∵E、F分別是AB，AD的中點，∴EF∥BD，EF=■BD，又∵■=■=2， ∴GH∥BD，GH=■BD，

∴四邊形EFGH是梯形，設兩腰EG，FH相交于一點T，

∵EG∈平面ABC，FH∈平面ACD，

∴T∈面ABC，且T∈面ACD，又平面ABC∩平面ACD=AC，

∴T∈AC，∴直線EG，FH，AC相交于一點T。

3.訓練學生的思維方式，強化訓練學生舉一反三的能力。

我們觀察下面一道基礎性的數學題。

原題： f（x）=■的定義域為R，求m的取值范圍

解：由題意mx■+8x+4>0在R上恒成立

∴m>0且Δ≤0，得m≥4

這是一個基礎性的題，學生很容易根據根號的定義、意義和定義域的概念得出∴m>0且Δ≤0這個結論，進而得出m≥4，求出了m的取值范圍。

在另一種情況下，對上面的題目出現了函數的變式，對原來的多項式進行求對數。題目變成了：f（x）=log■■的定義域為R，求m的取值范圍。解答方法如下：

解：由題意mx■+8x+4>0在R上恒成立

∴m>0且Δ<0，得m>4

這實際上跟第一種解法并無明顯區別，出題者考的實際上是對log函數的基本定義的考察，與第一種解法中考察根號、定義域的定義、意義并無明顯差別。學生只要對相關的數學基礎性的概念理解通透，就能很快解答。學生往往需要在學習概念的過程中加強反思，進行強化性訓練，反思理解概念的意義和運用場合。

我們再來看另一種題目的變式：

f（x）=log■（mx■+8x+4）的值域為R，求m的取值范圍

解：令t=mx■+8x+4，則要求t能取到所有大于0的實數，

∴當m=0時，t能取到所有大于0的實數

當m≠0時，m>0且Δ≥0？圯0

∴0≤m≤4

實際上這是一種換元的思想，通過換元法，將減元結果簡化，更容易求值。

反思能力的培養必須與數學能力結合起來，這樣才能提高學生解題的能力和學習的效率。而且，反思并不是越多越好，它的價值在于發現問題進而解決問題。因而選擇一個合適的反思缺口，當問題解決了，反思的過程就應該適當的結束，而不是進入思維的死胡同。

參考文獻：

1.彭波，《淺談數學解題后的反思》[J]；《高中數學教與學》；2007（03）

2.曹緒華，《例說解題反思》[J]；《高中數學教與學》；2007（04）

【責編 張景賢】