反例在高等代數學習中的作用

【摘要】在高等代數教學過程中，反例教學與學習是我們在教學過程中應該進行充分發展的主要教學方向，同時也是在教學效果上最明顯的教學方法之一。可是在實際教學過程中，對這樣的教學過程我們還存在一定認識上的不足，本文就結合“反例在高等代數學習中的作用”展開相應的探索與研究，希望能夠對后期的研究奠定相應的理論基礎。

【關鍵詞】高等代數 反例教學 主要作用 探索研究

我們在進行高等代數教學過程中，通常是運用正例教學法進行教學活動，但是學生自身的逆向思維以及解題能力并不能得到很好的發展。對于這一問題，我們就通過這一課題進行相應的研究，將解決方案與廣大教師進行分享，希望對我們今后的高等代數教學能夠起到積極的作用。

一、反例教學在高等代數學習過程中的重要性

所謂反例教學，我們廣大教師們都能夠清楚認識到它的優越性所在，而它在高等代數教學中卻并沒有得到充分的應用。在進行高等代數教學中，學生反例的學習過程可以對學生自身的逆向思維進行不斷的培養，同時也可以讓學生在一定程度上進一步形成對知識點的同化過程，讓學生“舉一反三、觸類旁通”的能力得到不斷進步，這也是我們在進行高等代數教學中的關鍵所在。通過以上的論述我們不難看出反例教學在高等代數學習過程中的重要性所在。

二、反例在高等代數教學中的應用

1.找出原有理論自身存在的局限性。在進行高等代數教學中，很多時候我們都會想到用反例教學，但是對于運用過程我們還存在很多的疑惑，對于正面教學存在的局限性并不能充分地認識，因此對于反例的運用過程就產生了一定的阻礙。在進行矩陣的運算性質教學過程中我們就能夠充分地看出反例教學自身的作用所在。在進行矩陣乘法的運算過程中，其條件不能充分滿足交換律，這樣自身原有存在的局限性就充分體現出來了。例如AB有意義，但BA不一定有意義，那么Am×nBn×p有意義，當m≠p時Bn×pAm×n就沒有意義。我們通過這個例題就能夠充分地看出反例教學在高等代數學習中存在的真正價值，這同時也是我們正確認識正例教學局限性的主要方法所在。

2.對概念以及定理進行不斷的澄清。在進行高等代數教學過程中，學生對一些基本的定理以及概念的掌握情況并不是很好，這對我們在教學中進行反例教學有很大的不利。基本定理的掌握可以讓學生對問題分析以及知識點的正確運用起到基礎作用，也是學生思維的主要聯系過程，在教學中我們還需要對概念以及定理進行不斷的澄清。比如對于多項式x2﹢3x﹢2 與x 2﹢1來說，找不到一個滿足判別法條件的素數p，但顯然前一個多項式在有理數域上可約，而后一個多項式不可約。所以 Eisenstein 判別法不是對所有整系數多項式都能應用的，因為滿足判別法中條件的素數 p 不總存在。在這一定理反例教學中對于基本的概念就涉及了很多，我們在教學過程中應該充分認識到這一關鍵點。

3.在一般命題中將其特殊化。我們在進行高等代數反例教學過程中，對一般命題我們還應該進行逐步的特殊處理，讓一般命題充分具有不一般的特點，使命題在一定程度上由簡單逐步轉向復雜，讓學生的理解能力得到進一步的提高，解決問題的能力也得到相應的發展。這樣，對學生思維方式的培養可以起到絕對的積極促進作用，同時也是我們在進行反例教學過程中逐步進行應用和滲透的關鍵所在。

三、在高等代數教學中構造反例的主要方法

1.對命題中的關鍵字進行準確判斷。在高等代數反例教學過程中，我們首先要對學生基本能力的訓練進一步加強，同時讓學生能夠有一個良好的解題習慣，這樣反例教學才能起到真正的作用。這樣，對命題中關鍵字的正確判斷就顯得尤為重要。在進行反例教學過程中并不是所有的條件都有相關的作用，可能命題中僅有幾個字在反例中具有價值，將這些關鍵字之間存在的關系進行準確判斷，同時對內部轉化過程進行不斷的講解，這樣學生在進行反例學習中才能將思路進行不斷的疏理，達到反例教學的效果。

2.轉化教材實例為反例。在高等代數反例教學過程中，我們廣大教師還應該具有將實例轉化為反例的能力，因為教材中反例教學資料并不多，需要我們教師進行不斷的整理和研究才能夠將這些反例教學材料得以體現。比如等價的向量組必有相同的秩，但有相同秩的向量組未必等價。反例則向量組（I）：（1、1、0 ），（1、2、0）與向量組（II）：（0、1、2），（0、3、4）的秩都是2。這一反例教學材料就需要我們教師進行知識點的相關整理與研究，將這一定理的反例總結。

3.轉化熟悉的例題為反例。在高等代數教學過程中，很多例題都具有一定的代表性，都是我們廣大教師以及學生所熟知的。而對于反例的應用過程而言，筆者建議還是要將這一部分熟悉的例題進行反例轉化，這樣學生對于較為熟悉的知識點的印象會更加深刻，學生自身的思維模式也能夠得到更深層的改變，同時這也是我們培養學生逆向思維的主要手段之一。

以上就是我對高等代數學習過程中反例教學運用的重要作用相關的探索研究，希望與廣大教師進行分享。在本文研究過程中，筆者自身的觀點還存在很多不足，希望能夠得到積極的意見與建議。