一類含臨界指標的雙調和方程解的存在性

趙春燕 胡云學

（黔南民族師范學院數學系，貴州 都勻 558000）

0 引言

本文討論以下具有臨界指數的雙調和問題解的存在性：

其中Ω?RN(N≥5)為包含原點的有界區域，具有光滑邊界。參數1＜q＜2,λ＞0,μ＞0,2*=為 H2(Ω)嵌入到 Lp(Ω)的 Sobolev臨界指數。不妨記X=H10(Ω)∩H2(Ω),定義其上的范數為則 X 為Hilbert空間，X的共軛空間記作X*.若u∈X,對?ω∈X成立：

則稱u是問題（1）的弱解。

問題（1）對應的變分泛函為：

顯然，I(u)∈C1(X,R),且 I(u)的臨界點即是（1）的弱解。

本文將利用（1）的 fibering 映射 ψu(t)∶t→I(tu),（其中 t＞0）,來研究（1）的Nehari流形隨參數λ,μ變化的情形，從而相應得出（1）的解的存在性的結論如下：

?常數 Λ＞0,使得：當 λ∈(0,Λ)時，問題（1）至少存在一個非平凡解。

1 Nehari流形的一般結論

對于一般的泛函I，我們作以下定義：

定義1.1 定義泛函的I fibering映射：

ψu(t)∶t｜→I(tu),（其中 t＞0）。

很自然地，可視I(tu)為I(t,u)，下文中我們將對兩者不加區分。

定義1.2 定義泛函I的Nehari流形：

N={u≠0｜〈I′(u),u〉=0}。

定義 1.3 令 φ(u)=〈I′(u),u〉,定義：

關于一般的泛函I的Nehari流形和fibering映射的關系，有以下結論：

引理 1.1 設 u∈X{0}且 t＞0,則

(i)tu∈N 當且僅當 ψu′(t)=0；

(ii)tu∈N+當且僅當 ψu″(t)＞0；

(iii)tu∈N0當且僅當 ψu″(t)=0；

(iv)tu∈N-當且僅當 ψu″(t)＜0.

引理1.2 若u0是I(u)在N上的一個局部極小點，并且u0?N0，則 I′(u0)=0.

證明：因為u0是I(u)在N上的極小點，由Lagrange乘子定理知存在常數γ使得：

特別在點 u0處有〈I′(u0),u0〉=γ〈φ′(u0),u0〉.由 u0∈N 知〈I′(u0),u0〉=0；由 u0?N0知〈φ′(u0),u0〉≠0.故 γ=0,將其代入（4）得：I′(u0)=0.（證畢）

2 問題（1）解的存在性

這部分將按照以上關于泛函的Nehari流形和fibering映射的定義與結論，分析具體問題（1）。

在具體問題（1）中，有：

引理2.1 問題（1）的變分泛函I(u)在其Nehari流形N上是強制的，且下有界。

證明：0≠u∈N當且僅當：

下文中記最佳Sobolev嵌入常數為：

由式（3）和（5），通過 H?lder不等式、Sobolev 不等式和 Younger不等式得：

其中 C0(q,N,Ω)＞0 為常數。

于是I在N上有下界。

在問題（1）中，我們還有：

其中：

可求得Fu(t)的駐點為：

并知當 t＞t0時，Fu′(t)＜0；當 t=t0時，Fu′(t)=0 Fu(t0)＞0；當 t＜t0時，Fu′(t)＞0。

又由于 Fu(0)＜0，當 t→∞ 時，Fu(t)→-∞，故當時，Fu(t)有且僅有兩個零點 t1,t2，且滿足 0＜t1＜t0＜t2，Fu′(t1)＞0＞Fu′(t2).又由式（11），（13）知 ψu′(t1)=ψu′(t2)=0，ψu″(t1)＞0,ψu″(t2)＜0。 從而由引理 1.1 知：t1u∈N+,t2u∈N-。

ψu(0)=0；當 t→∞ 時，ψu(t)→-∞。 從式（11）知 ψu′(t)與 Fu(t)同號，于是易知ψu(t)在區間(0,t1)和(t2,+∞)上單調遞減，在區間(t1,t2)上單調遞增，故ψu(t)在t=t1時取到唯一局部極小值，在t=t2時取到唯一局部極大值。

（i）存在從X到R上的兩個泛函t1(u)和 t2(u)，其取值使得t1(u)u∈N+,t2(u)u∈N-,且有 0＜t1(u)＜t2(u).

（ii）t1(u)，t2(u)∈C1(X,R)，且其導數：

（iii）N0= ，即 N=N-∪N+。 N、N-、N+均為閉集。

證明：（i）由前面論證可知，只須 Fu(t0(u))＞0對?u∈X 成立，即有結論（i）。 現討論令 Fu(t0(u))＞0 的條件。

由式（12）和（15）有：

故Fu(t0(u))＞0當且僅當：

（ii）因為 ，故由隱函數定理知 t1(u)關于u是C1的，且：

（iii）由于對?u，當且僅當 t=t1,t2時，有 tu∈N,而 t1u∈N+，t2u∈N-，即對?u，不存在 t＞0，使得 tu∈N0，故 N0= 。 又由 t1(u),t2(u)∈C1(X,R)可知N-、N+均為閉集。于是N也為閉集。

（iv）因為對都有?uI(t1(u)u)＜I(t2(u)u)，故。 又因為?u 都有 I(t1(u)u)＜0，故。 （證畢）

引理2.3 若 λ∈(0,Λ),設{un}?N+是a+的極小化序列，則：

假設存在{un}的子列（不妨仍記作，使得當n→∞時，，則由I在N上的強制性知：當n→∞時，I(u)→+∞，得到矛盾。于是。

假設存在{un}的子列（不妨仍記作{un}），使得當n→∞時，→0，則,這就與引理 2.2（iv）矛盾。于是。（證畢）

由式（16）、（18）和（19）有：

證明：取(PS)a+序列{un}?N+，即{un}滿足：

因{un}在上有界，故在上有界（其中（2*）′為 2*的共軛指數，即，從而有：

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