微積分證明題中的常數(shù)變易法

顧曉偉

（蘇州健雄職業(yè)技術(shù)學(xué)院現(xiàn)代港口與物流管理系，江蘇太倉215411）

顧名思義，常數(shù)變易法就是將某一常數(shù)換成變量，引入輔助函數(shù)證題的方法.此法在證明等式和不等式時有普遍應(yīng)用.請看以下幾例：

故當(dāng) x＞a 時,f(x)單調(diào)增加.又 f(a)=0,所以當(dāng) x＞a 時,f(x)＞f(a),

(x2+a2)(ln x-ln a)＞2a(x-a).從而當(dāng) b＞a＞0 時,有(b2+a2)(ln b-ln a)＞2a(b+a).即：

例 2 設(shè) b＞a＞e,求證:ab＞ba.

[證明]考察 F(x)=x ln a-a ln x,a≤x＜+∞,F(x)在[a,+∞）可導(dǎo),F(a)=0,

所以 F(x)在[a,+∞）單調(diào)上升,即 b＞a＞e 時有 F(b)＞F(a)=0,即 b ln a＞a ln b，

因此 b＞a＞e 時,ab＞ba.

例 3 設(shè) f(x)在［0,+∞）連續(xù).又 f(0)=0,f″(x)＜0(?x＞0),求證:對?x1＞0,?x2＞0,f(x1+x2)＜f(x1)+f(x2).

[證明]考察函數(shù) F(x)=f(x)+f(x1)-f(x1+x),由 f′(x)＜0(?x＞0)知 f′(x)在x＞0 單調(diào)減少,故 f(x)＞f(x1+x)，即 F′(x)=f′(x)-f′(x1+x)＞0(?x＞0),所以 F(x)在 x＞0 單調(diào)上升,又 F(0)-f(0)=0,故 F(x)＞0(x＞0).因此?x2＞0,?x1＞0,有 F(x2)=f(x2)+f(x1)-f(x1+x2)＞0,即 f(x1+x2)＜f(x1)+f(x2).

例 4 設(shè)函數(shù) f(x)在［0,1］連續(xù),在（0,1）內(nèi)可導(dǎo),且 f(0)=0,0＜f′(x)＜1

例5 設(shè)f(x),g(x)均在［a,b］上連續(xù),證明柯西不等式:

亦即：

例6 設(shè)f(x)連續(xù)，證明：

[分析]本題可用分部積分法或二重積分法證明。但若將a當(dāng)作變量，由于當(dāng)a=0時等式兩邊相等（均為零），只需檢驗二邊的導(dǎo)數(shù)相等.事實上，左邊導(dǎo)數(shù)為而右邊導(dǎo)數(shù)為.兩者相等，故原式成立.