對比電勢能分析火積耗散計算

張明智 李婷婷 甄鵬洋

（華北電力大學能源與動力工程學院，河北保定071003）

0 引言

過增元等[1]提出熱量傳遞勢容和熱量傳遞勢容耗散函數。通過對熱量傳遞與電荷傳遞現象比擬，得出一個新的物理量火積—與電勢能相對應，代表物體向外傳遞熱量的能力。熱量傳遞過程中傳遞能力的損失稱為火積耗散。韓光澤等[2]將導熱系統與導電系統類比，發現它們的傳遞能力的損耗都可以由廣義功來反映。在力學系統中，功為強度量力與廣延量力所走過的位移量的乘積。對于導電系統，廣義功電功是強度量電勢與廣延量電荷的乘積；對于導熱系統，廣義功熱力功是強度量溫度與廣延量熱量的乘積。本文將涉及到的物理量進行了比擬，如表1所示：

表1 導電與導熱系統相關物理量對照Tab.1 Contrast of related physical quantities of electrical and thermal conductive systems

目前關于火積的研究涉及到：火積的概念，火積傳遞效率[3]，火積耗散率，火積耗散極值原理[4]，火積耗散熱阻[5]及其在傳熱傳質優化中的應用[6]等。本文討論了不同情況下火積耗散數學表達式，進一步明確火積耗散的物理意義和計算方法。

1 導電系統電勢能耗散

1.1 電功與電勢能

廣義功電功，是強度量電勢與廣延量電荷的乘積，可以表示為微分式：

設帶電量為Q的電容器，電勢是φ，本構方程是Q=ceφ，將其對外放電，當電勢由φ2達到φ1時，電容器對外做電功為：

電容器對外界做的電功等于一個狀態函數的變化，在電磁學中，這個狀態函數被定義為導體的電勢能：

導體電勢能的大小表征導體向外傳遞電荷的能力，電勢能耗散量為導體向外做電功的大小。

1.2 電勢能耗散計算

1.2.1 無源有限系統

設兩個結構完全相同的電容器，電勢分別為φ1、φ2，將其并聯成為一個無內電源的有限體系。利用式（3）分別計算出并聯前后的總電勢能，兩者的差就是電勢能耗散。并聯之前兩電容器總電勢能為：

并聯后總電容是 2Ce，電勢是（φ1+φ2）2，總電勢能為：

并聯過程中電勢能耗散：

1.2.2 穩流開口系統

設將電荷量恒為Q的正電荷放在恒定勻強電場中，將其從φ1點移動到φ2點。當電荷沿等勢線運動時，φ1=φ2，過程中沒有電勢能損耗。當電荷沿著電場線正向運動時，φ1＞φ2，過程中必有電勢能損耗。從這兩種不同移動電荷過程的比較分析中可以看出，產生電勢能損耗的原因是存在電勢差，高電勢點輸出的電勢能大于低電勢點得到的電勢能。

基于對電勢能損耗機理的認識可將電勢能耗散定義為：

對于電量穩定的開口系統，由式（7）可知過程中的電勢能耗散為：

1.2.3 一般系統

電勢能損耗的定義式（7）反應了電勢能損耗的機理，可以由此積分得到系統總的電勢能損耗，但該式與時間無關，只能用于描述過程的結果。在研究某些具體問題時往往需要知道單位時間單位體積導電介質中的電勢能損耗。將式（7）兩端同時對時間和體積微分得：

式中：▽φ為電勢梯度；J為電流密度，A m2。又已知存在下式：

式中：ψEe為電勢能耗散率，J （s·m3）。

式（11）兩側同時對時間和體積進行積分得電勢能耗散為：

2 導熱系統與火積耗散

2.1 熱力功與火積

定義溫度T與被傳輸熱量Qh的乘積為熱力功Wh[7]，熱力功可以表示為微分式：

設有一個質量和體積不變的物體放在熱源上，熱源緩慢的升高溫度給物體加熱。被加熱物體的本構方程是Qh=ChT。其中Ch是熱容，Qh是熱容量。當物體的溫度由T1升高到T2時，熱源對物體做的熱力功為：

熱源對物體做的熱力功等于一個狀態函數的變化，這個狀態函數被定義為火積：

火積是表征物體向外傳遞熱量能力的物理量，火積耗散量為物體向外做熱力功的大小。

2.2 火積耗散計算

2.2.1 無源有限系統

設有兩個完全相同的物體，通過直接熱接觸后構成一個復合熱系統。這是一個無源有限系統，利用定義式（15），分別計算出物體被加熱前后的火積，兩者的差就是火積耗散。

設接觸前兩個物體的溫度分別是T1和T2，接觸前兩個物體的總火積為：

接觸后復合系統的熱容是2Ch，平衡溫度是，接觸后的總火積是：

組合過程中火積耗散為：

2.2.2 穩流開口系統

設一個質量和體積不變的物體放在熱源上加熱，物體其它各方面絕熱。物體的溫度為T，熱容量為QV，熱源的溫度為T′。

文獻[7]指出，當物體與熱源之間無熱阻的接觸，T′=T，則該系統加熱過程中沒有火積耗散。當物體與熱源之間有熱阻，T′＞T，過程中必有火積耗散，并對火積耗散(文獻中稱為勢容耗散)定義為:

該定義式的實質是熱源的傳熱溫度T′與系統內部溫度T的差值所做的熱力功，即熱源所付出的火積多于被加熱物體所能得到的火積。

以一維穩態導熱為例，輸入厚度為d的平板與輸出平板的熱流密度相等且都為q，由式（19）可得過程中的火積耗散為:

2.2.3 一般系統

火積耗散的微分定義式（19）反應了火積耗散的機理，可以由此積分得到系統總的火積耗散，但該式與時間無關，只能用于描述過程的結果。在研究某些具體問題時往往需要知道火積耗散率，也就是單位時間單位體積導熱介質中的火積耗散。將式（19）兩端同時除以時間和導熱體體積的微分得:

又已知存在下式：

將式（22）代入式（21）得：

式中：ψEh為火積耗散率，。

式（23）兩側同時對時間和體積進行積分得火積耗散為：

3 結論

從上面的分析計算中可以看出，導電系統中的電勢能損耗與導熱系統中的火積耗散的機理是類似的。電勢能損耗的機理是導電過程存在電勢差，高電勢點輸出的電勢能多于低電勢點得到的電勢能。火積損耗的機理是導熱過程中存在溫差，熱源輸出的火積大于被加熱物體得到的火積。此外，二者在無源有限系統、穩流開口系統以及一般系統的表達式是一一對應的，不僅在形式上完全相同，而且在物理含義上也完全對應。這進一步說明，本文對火積耗散的數學表達式分析是正確的。關于火積耗散表達式的分析有助于在不同場合靈活采用不同的計算方法對火積耗散進行計算。

表2 導電與導熱系統勢容耗散對照Tab.2 Contrast of heat transport potential capacity dissipation of electrical and thermal conductive systems

［1］過增元,程新廣,夏再忠.最小熱量傳遞勢容耗散函數原理及其在導熱優化中的應用[J].科學通報,2003,48(1):21-25.

［2］韓光澤,朱宏燁,程新廣,等.導熱與彈性系統及導電的相似性[J].工程熱物理學報,2005,26(6):1022-1024.

［3］胡幗杰,過增元.傳熱過程的效率[J].工程熱物理學報,2011.32(6):1005-1008.

［4］丁開強.基于火積耗散極值原理的通道內層流換熱流場優化[D].山東大學,2013.

［5］朱曉磊,張勤,孟繼安,等.多股流換熱器的火積耗散熱阻分析[J].工程熱物理學報,2012,33(12):2140-2142.

［6］葉莉.一種板式換熱器板片的性能優化及火積理論分析[D].南京航空航天大學,2012.

［7］韓光澤,過增元.導熱能力損耗機理及其數學描述[J].中國電機工程學報,2007,27(17):98-102.