關(guān)于“時(shí)間和空間的相對性”的幾個(gè)問答

謝禮平

（南京東山外國語學(xué)校，江蘇 南京 211103）

在高中物理教科書選修3-4狹義相對論內(nèi)容中，“時(shí)間和空間的相對性”是個(gè)重、難點(diǎn)，“長度的相對性”的理解是建立在對“同時(shí)的相對性”正確理解基礎(chǔ)上的，“時(shí)間間隔的相對性”也是如此.從邏輯上講，既然由“同時(shí)的相對性”引出了“長度的相對性”和“時(shí)間間隔的相對性”，那么，從這條線來敘述時(shí)間和空間的相對性就顯得很自然，但教科書并不是嚴(yán)密、細(xì)致地按照這個(gè)思路描述.特別是“長度的相對性”這一內(nèi)容，對高中生的理解來說有很高的跨度.其他關(guān)于狹義相對論的文獻(xiàn)，大都單純利用洛倫茲變換進(jìn)行數(shù)學(xué)推導(dǎo)，這種陳述方式固然有其數(shù)學(xué)上的嚴(yán)密性，但缺乏對物理概念和規(guī)律的有效理解，學(xué)生難以理解其中的物理意義.這些給一部分學(xué)生的學(xué)習(xí)帶來了困難，引起了許多“為什么？”，其中的一些問題，在教師中也易引起爭論.本文意圖由“同時(shí)的相對性”出發(fā)，循著狹義相對論的邏輯關(guān)系，以師生問答的形式來說明“時(shí)間和空間的相對性”.錯(cuò)誤或不當(dāng)之處，敬請指正.

生甲：老師，您在“同時(shí)的相對性”中有這樣的描述：如圖1所示，地面上的人同時(shí)看到A、B兩處發(fā)出的閃光，他會斷定：這樣的情況下，車廂里面的人是先看到B′端發(fā)出的閃光，后看到A′端發(fā)出的閃光.我想問一下，這兩個(gè)閃光到達(dá)車廂處人的時(shí)間差可以知道是多少嗎？

圖1

師：這個(gè)問題提的很好，問到要害了，先不忙回答你的這個(gè)問題，可能其他同學(xué)還有相近的問題.

生乙：老師，您說的教科書第100頁的圖15.2-3所示的例子（參考圖2所示），地面上的人在同時(shí)測量桿M、N兩端，根據(jù)前面所講的同時(shí)的相對性，車廂里的人認(rèn)為，地面上的人是先測量了N端，后測量了M端，設(shè)其間隔為Δt，這期間桿已經(jīng)相對地面向前運(yùn)動(dòng)了一段.所以，車廂里的人一定會認(rèn)為地面測量桿的長度比自己的短，那么，短多少呢？我是這樣理解：如果知道了車廂人認(rèn)為Δt，桿相對地面向前運(yùn)動(dòng)的速度為v，那么，地面測量桿長的數(shù)值減小量Δl這樣表示：Δl＝vΔt，如果車廂里的人測量的桿長為l0，那么，地面人測得的桿長為l，則l＝l0－Δl，您看可以嗎？

圖2

師：請注意，這個(gè)長度l是車廂人認(rèn)為地面人應(yīng)該測得的桿的部分，這個(gè)問題我們稍后說明，除此之外，你是不是想問：怎么才能知道這個(gè)時(shí)間間隔Δt？

生乙：是的.

師：這就是和甲同學(xué)相似的問題了，別的同學(xué)還有問題嗎？

生丙：老師，關(guān)于時(shí)間間隔的相對性問題，我看了些參考書，有這么個(gè)例子：如圖3（a）所示，列車以速度v相對地面勻速行駛，車廂底面裝有一光源O，緊靠它有一標(biāo)準(zhǔn)鐘，該底面的正對面的車廂頂部裝一平面鏡M，可使向上發(fā)出的光脈沖原路返回，光速為c且不變，設(shè)車廂的高度為b，光脈沖在車廂往返過程中，車上的鐘走過的時(shí)間為Δt′，但是地面的人觀看，由于列車在前進(jìn)，光線走的是鋸齒形路徑，如圖3（b）所示，光線來回一次的時(shí)間為Δt，這是地面鐘的時(shí)間間隔.

圖3

由此可得兩個(gè)參考系時(shí)間間隔的關(guān)系為

我的問題是：這個(gè)過程我看得懂，但我感覺莫名其妙，這個(gè)例子有一般性嗎？為什么可以這樣說明？您能幫我從另外一個(gè)途徑說明時(shí)間間隔的相對性嗎？

師：好的，很高興你對相對論有這樣濃厚的興趣.從上面的幾個(gè)問題可以看出，同學(xué)們在理解了同時(shí)的相對性之后，開始關(guān)心它們之間的定量關(guān)系了.這些問題實(shí)際上也就是尋找在兩個(gè)參考系中時(shí)間的轉(zhuǎn)換關(guān)系，有難度.我們先根據(jù)同時(shí)的相對性來說明某一事件的“時(shí)刻”和“位置”在兩個(gè)參考系中的是如何轉(zhuǎn)換的.下面借助于一個(gè)我們熟悉的物理情景來進(jìn)行.如圖4（a）所示，火車以速度v向右高速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)位于車廂中部的人與地面人位于同一水平位置時(shí)，分別以兩人位置為原點(diǎn)建立一維空間坐標(biāo)，并設(shè)此時(shí)為0時(shí)刻，此時(shí)在車廂的中部發(fā)出一個(gè)閃光，這個(gè)閃光會到達(dá)車廂右端B′處.對這個(gè)事件，根據(jù)我們在同時(shí)的相對性中形成的認(rèn)識，車廂人和地面人會有不同的描述.設(shè)地面人認(rèn)為這個(gè)事件為（x，t），而車廂人認(rèn)為這個(gè)事件為（x′，t′），下面討論它們間的關(guān)系.期望得到兩個(gè)參考系時(shí)刻與位置轉(zhuǎn)換關(guān)系式，你們看應(yīng)該怎么開始？

圖4

生甲：我感覺一頭霧水，不過，我猜測，得先考慮兩個(gè)參考系中各物理量的關(guān)系吧？

師：對，你的猜測非常好.那么它們到底哪些物理量有關(guān)系呢？又有什么關(guān)系？

生甲：如您在上節(jié)課所說，根據(jù)相對性原理和光速不變原理，在各自參考系中，物理規(guī)律不變，光速不變.至于別的，就得分析了.

師：很好，對于其他物理量如位置、時(shí)刻，我們就不能認(rèn)為它們是相同的，得想辦法找到它們間的關(guān)系.

生：……

師：情況也不是一籌莫展，如圖4（b）所示，對地面人來說，B′距離他為ct，對于車廂人來說，地面人向左運(yùn)動(dòng)了vt′，車廂右端距離他為ct′，如甲同學(xué)剛才所說，它們間的關(guān)系不能理解成ct＝vt′＋ct′，但可以假設(shè)它們間有正比例關(guān)系，表示為ct＝k（vt′＋ct′）.

生甲：老師，要這么說的話，你在相對論兩個(gè)假設(shè)的基礎(chǔ)上，又添了一個(gè)假設(shè)哦.

師：是的，以后你會知道，這叫“時(shí)間、空間的均勻性以及空間的各向同性”假設(shè)；你很嚴(yán)謹(jǐn)，學(xué)習(xí)相對論需要這樣的嚴(yán)謹(jǐn).

師：同理，我們還可以得出，ct′＝k（ct－vt）.與上式相比較，其比例系數(shù)認(rèn)為相等，理由是在各自的參考系中觀察，它們是等價(jià)的.如此，就可以推導(dǎo)兩參考系時(shí)刻t和t′、位置x和x′之間的關(guān)系了.

生乙：我整理一下，

師：可以看出，要定量確定兩參考系事件發(fā)生的位置x、x′和時(shí)刻t、t′之間的關(guān)系，關(guān)鍵是要確定常數(shù)k.

生乙：哦，是的，由（1）、（2）、（3）式可得

由（1）、（2）、（4）式可得

為了得到時(shí)刻和位置的關(guān)系，將（7）式代入（3）、（4）式，求解x、x′、t和t′，可得

生丙：老師，這樣的推導(dǎo)過程，我覺得比較自然了，但這幾個(gè)公式的物理意義是什么？它們能解決剛才我提出的問題嗎？

師：首先，它們可幫助我們確定在車廂中發(fā)生的一個(gè)事件，車廂人與地面人對此不同描述以及它們間的關(guān)系.由此就可確定兩個(gè)事件的長度（位置間隔）在不同參考系之間的變換關(guān)系，也就是Δx′與Δx之間的關(guān)系.同理，還可確定兩個(gè)事件發(fā)生的時(shí)間間隔在不同參考系之間的變換關(guān)系.其次，時(shí)間和空間不再各自獨(dú)立地存在，兩者由于慣性參考系的相對運(yùn)動(dòng)而有機(jī)地結(jié)合在一起，時(shí)間、空間和物質(zhì)運(yùn)動(dòng)之間的有密切的關(guān)系，這就是狹義相對論時(shí)空觀.最后，值得一提的是，時(shí)間和空間的相對性只發(fā)生在運(yùn)動(dòng)方向上.在同時(shí)的相對性中已經(jīng)說過，在垂直運(yùn)動(dòng)方向上，同時(shí)是一致的，因而在這些方向上，時(shí)間是同步的，長度也是一樣的.

師：至于你提出的第二個(gè)問題，你可以引用上面的變換式

推導(dǎo)一下Δt和Δt′的關(guān)系.提示：在車廂參考系中，發(fā)出光脈沖和接受光脈沖是在同一個(gè)位置，即Δx′＝0，這也是選用這個(gè)變換式進(jìn)行計(jì)算的原因.甲同學(xué)第一個(gè)提出的問題，實(shí)際是求Δt′.你知道嗎？

生甲：嗯，問題條件是Δt＝0，Δx′為車廂自身長度，那么選擇公式

就可解決它.公式

有點(diǎn)麻煩，因?yàn)樾枰_定Δx，應(yīng)該比車廂本身長度短點(diǎn).

生乙：老師，我前面問到的長度的收縮，根據(jù)這些變換式，能得到嗎？

師：對照圖2所示的例子，車廂人測量車廂內(nèi)桿的長度為l0，地面人的測量必須要同時(shí)對準(zhǔn)桿的兩端才行（車廂人測量桿長是不需要同時(shí)的，只要與尺子兩端對齊，讀出兩個(gè)位置的刻度值即可），即tN＝tM，車廂人是怎么看待地面人的測量的呢？根據(jù)同時(shí)的相對性，車廂人認(rèn)為地面人先對準(zhǔn)了N點(diǎn)，后對準(zhǔn)了M點(diǎn)，也就是說車廂人認(rèn)為地面人對準(zhǔn)M點(diǎn)的時(shí)刻后發(fā)生，即tM′＞tN′，在這個(gè)時(shí)間差Δt′內(nèi)，桿向前移動(dòng)了一段距離，數(shù)學(xué)表述是

可得

師：L是指車廂人認(rèn)為地面人所測得的桿的部分，車廂人可不認(rèn)為地面人的測量數(shù)據(jù)僅僅是少了一部分桿長，地面上的任何相對于火車運(yùn)動(dòng)方向上的尺寸全都收縮了，也即，車廂人還看到地面人所用的尺子也收縮了，對此，車廂人是這么看的：地面的尺子高速向左運(yùn)動(dòng)，兩端為A和B，車廂尺子兩端A′和B′同時(shí)與其對齊，即必須有tA′＝tB′，故我們用代換

可以得到

地面測量值就應(yīng)該是

生甲：要這么費(fèi)勁啊，地面人直接到車廂上來測量不就行了嗎？

師：這樣的話，他測量到的就是原車廂人測量桿的長度，但我們的目標(biāo)是測量一個(gè)相對于測量者運(yùn)動(dòng)桿的長度，所以就比較“費(fèi)勁”.另外，地面人測量值你也可用公式

得到，此處有Δt＝0，Δx′＝l0.

生甲：車廂人認(rèn)為的地面人的測量結(jié)果，還是相對論理論上的結(jié)論，這需要實(shí)驗(yàn)的驗(yàn)證，是吧？

師：很好，是的.

1 趙凱華，羅蔚茵.新概念物理教程，力學(xué)（第2版）［M］.北京：高等教育出版社，2012.

2 張之翔.對長度收縮的另一種看法［J］.大學(xué)物理，2005（10）：13－14.

3 邱會明.洛倫茲變換的推導(dǎo)及對其悖論的解釋［J］.中學(xué)教學(xué)參考，2012（2）：62.

4 謝禮平.關(guān)于“同時(shí)的相對性”的幾個(gè)問答［J］.物理教師，2014（5）：18.