圓柱形水龍頭流出水柱形狀的深入探討＊

黃 烈

（盤縣第二中學，貴州 盤縣 553500）

在“豎直方向上的拋體運動”一節復習課上，筆者提出一個問題：開口向下的圓柱形水龍頭流出的水柱是什么形狀（假定水在空中不散開）？不少學生先是莫名其妙，然后就炸開了鍋——“是圓柱！”“不對，是倒立圓臺！”……

這些回答是學生認知圖式的自然展示，是對新對象同化的開始.然而學生很快發現同化是失敗的，因為筆者擰開了自動取水機水龍頭，流出的水柱將他們震住了：水柱的側面明顯是彎曲的，并非圓柱面，也非圓臺側面.這是一個在高一學生認知水平下出現的物理悖論問題，問題的出現打破了學生原來的認知圖式，有力地促成了學生順應程序的啟動，問題的解決則必將促進學生個體圖式向更高水平發展.以下分兩步探討這個問題.

1 建立模型

考慮一個豎直向下開口面積為S0的圓柱形水龍頭，流量（單位時間流出水的體積）Q恒定，水龍頭開口處距離水槽地面h，假定水流出后在下落過程不散開，忽略空氣阻力的影響.問：水在豎直方向上做什么運動？距離水龍頭出口h高處水流的瞬時速度多大？該處水柱的橫截面積S多大？

考慮到水從水龍頭流出時具有豎直向下的初速度，忽略次要因素后，水的下落可看成豎直下拋運動.

設水剛從管口流出的速度為v0，則Q＝S0v0.若設水下落h高度時的速度為v，根據運動學公式有，2gh＝v2-，求得v＝

模型的建立是對問題物理本質的概括、提煉與抽象，是對問題的多種表征手法的綜合應用.“既涉及物理知識和物理方法的參與，又涉及思維品質的參與；既可以達到培養學生問題表征能力的目的，又可以達到促進學生思維品質發展的目的.”［1］模型的建立同時還幫助學生獲得對問題的直觀印象：水柱的橫截面是逐漸縮小的，但不是均勻減小的.

2 問題的解決

那么，到底開口向下的圓柱形水龍頭流出的水柱是什么形狀呢？為了更深層次和更清晰的厘清這個問題，需要二次建模，構建水柱的母線方程.如圖1所示，以管口中心為坐標原點，豎直向下為y軸正方向，水平方向為x軸建立直角坐標系.設水柱表面上一點P的坐標為P（x，y）.則根據前面的探討，過該點的水平截面面積為

另一方面S＝πx2.設水管口的半徑為x0，則S0＝.由以上3式可得水柱的母線方程

取適當初始條件，用幾何畫板可作出y-x關系圖像如圖1.圖像顯示，水柱截面半徑在出口附近快速縮小，越往下變化越慢，這一形狀與生活觀察完全一致.學生的疑團終于解開：圓柱形水龍頭流出的水柱既不是圓柱，也不是倒立的圓臺，而是更為復雜的形狀.

圖1

3 結語

本問題是與生活現象緊密聯系的高中物理悖論問題，具有明顯的原始物理問題特征.這類問題體現新課程標準教學內容要“加強與學生生活的聯系”的理念，有利于培養學生“物理源于生活”的基本認知，喚起學生對生活中物理現象的關注與思考.另一方面，悖論問題在教學中的引入容易引起學生的認知沖突，激發學生學習的興趣.培養學生提出并分析解決這類問題的能力，是當前教學研究的熱點之一.研究表明，這類問題可以有效促進學生思維品質的發展，有助于發展學生的創新思維能力，拓展學生的思維向度與深度，重構學生的認知圖式，發展學生的認知水平.

1 邢紅軍，劉利.物理教學促進中學生思維品質的發展研究［J］.課程·教材·教法，2013（7）：97-102.