牛頓第二定律為什么不寫成而是F＝ma

霍良平

（旬陽中學，陜西 旬陽 725700）

牛頓第二定律是研究質點在合力作用下，其運動狀態(tài)如何變化的問題.在大學物理教程和高中物理教材中都是以實驗為基礎總結出的實驗結論，對研究力和運動起到了決定性的作用，由于在高中教材中對牛頓第二定律的推導過程主要是在實驗的基礎上以國際單位為主線得出結論或F∝ma，而在具體的做題當中都是以F∝ma的形式出現(xiàn)，不寫成的原因究竟是為什么？本文結合大學物理教程和高中物理教材做一比對分析.

大學教程［1］中：設質量為m的質點M，某時刻的速度為v，動量為mv，某時刻質點動量對時間的變化率等于該時刻作用在質點上所有力的合力R＝∑iFi實驗表明：

牛頓第二定律給出了力和動量變化之間的定量關系.當質點的質量可以看做是常量時，上式可寫為

這就是大家熟悉的牛頓第二定律的表示形式.實驗表明，當質點的質量隨時間變化時，式（2）已不再成立，但式（1）仍然成立，說明用動量形式表示的牛頓第二定律具有更大的普遍性.

高中教材［2］中：分別采用控制質量和力的前提下，通過實驗探究加速度與力、質量的關系，得出實驗結論：物體的加速度跟受到的作用力成正比，跟物體的質量成反比.數(shù)學公式表示為

將上式寫成等式，得

式中的k是比例系數(shù)，取國際單位（規(guī)定1N是使質量為1kg的物體產(chǎn)生1m／s2加速度的力），k＝1，上式可寫為F合＝ma.

（1）從單位制角度講，最早物理學中使質量為1kg的物體產(chǎn)生1m／s2的加速度所需要的力叫做千克力，后來將千克力改用為牛，即使質量為1kg的物體產(chǎn)生1m／s2的加速度所需要的力為1牛.從單位分類來看牛是導出單位，可表示為1N＝1kg·m／s2，因此將牛頓第二定律表示為F＝ma體現(xiàn)了單位的導出過程.

（3）牛頓第二定律的內容當中并沒有具體要求研究對象只能為一個質量一定的物體或加速度相同的物體系，即可理解為對變質量的物體、加速度不同的多個物體系也應在它的研究范圍內.

設有n個相互作用的物體質量一定，分別為m1、m2、..mn，產(chǎn)生的加速度分別為a1、a2、..an，m1受到的作用力分為F1內（m2，..mn對m1施加的力的合力）、F1外（除m2，..mn對m1施加力之外的力的合力），同理m2受到的作用力分為F2內、F2外，mn受到的作用力分為Fn內、Fn外.根據(jù)牛頓第二定律得

F1外＋F1內＝m1a1. （1）

F2外＋F2內＝m2a2. （2）

……

Fn外＋Fn內＝mnan. （n）

據(jù)牛頓第三定律得F1內＋F2內＋…＋Fn內＝0，則式（1）＋式（2）＋…＋式（n）得

F1外＋F2外＋…＋Fn外＝m1a1＋m2a2＋…＋mnan.

如果取m1，m2，…mn系統(tǒng)為研究對象，有

F合外＝m1a1＋m2a2＋…＋mnan.

結合力的正交分解思想，上式可寫為

Fx＝m1a1x＋m2a2x＋…＋mnanx，

Fy＝m1a1y＋m2a2y＋…＋mnany，

式中的Fx和Fy是系統(tǒng)在x軸、y軸方向上的合外力.若牛頓第二定律寫成將無法列出系統(tǒng)的牛頓第二定律方程，即只能局限于解決單個物體或可視為單體的多個物體系（加速度相同）的力學問題，在學生應用牛頓第二定律解決力學問題時存在很大的局限性，甚至會使學生曲解為牛頓第二定律只能解決單體定質量問題.

例題.一個斜面光滑質量為M的三角劈放在粗糙的地面上，一個質量為m的滑塊從斜面頂端靜止釋放，在滑塊的下滑過程中，三角劈始終不動，那么三角劈所受地面的摩擦力的大小和方向怎樣？支持力又有多大？

解析：分別以三角劈和滑塊為研究對象作受力分析，如圖2（a）、（b）所示.

圖1

圖2

x軸方向：當M和m一定時，取水平向左為正方向，滑塊的加速度為a1＝gsinθ，三角劈的加速度為a2＝0.

對滑塊：

FNx＝FNsinθ＝ma1x. （1）

對三角劈：

f-FN′sinθ＝Ma2x. （2）

y軸方向：取豎直向下為正方向.

對滑塊：

mg-FNcosθ＝ma1y. （3）

對三角劈：

Mg＋FN′cosθ-N＝Ma2y. （4）

FN＝FN′.（數(shù)值相等） （5）

如果采用單體分析法，先有（1）式算出FN＝mgcosθ，代入（2）式得出f＝mgsinθcosθ，代入（4）式得出

N＝（M＋m）g-mgsin2θ.

系統(tǒng)分析法.

x軸方向：f＝ma1x＋Ma2x.

y軸方向：mg＋Mg-N＝ma1y＋Ma2y.于是直接可得f＝mgsinθcosθ，且方向水平向左，N＝（M＋m）g-mgsin2θ.

1 吳百詩.大學物理（新版）［M］.北京：科學出版社，2001.

2 束炳如，何潤偉.物理（共同必修1）［M］.上海：上?？萍汲霭嫔?，2004.