2014年北約自主招生物理第9題的幾種解法

陳偉孟

（中國人民大學(xué)附屬中學(xué)，北京 100080）

2014年中國綜合性大學(xué)自主選拔錄取聯(lián)合考試（北約）自然科學(xué)基礎(chǔ)試卷的物理部分共12道題.整個(gè)試卷的題型合理，注重對物理基本知識點(diǎn)和主干知識點(diǎn)的考查.為了有效考查學(xué)生的層次和拓展能力，體現(xiàn)選拔優(yōu)秀學(xué)生的功能，2014年北約物理考查了部分超出高考物理范圍的知識.現(xiàn)對北約自招物理試卷的第9題，一道有關(guān)引力勢能的計(jì)算題，進(jìn)行4種方法的對比解析.該題著重考查考生的思維能力與分析能力，通過多角度的解題分析，有利于思維的演繹與發(fā)散，同時(shí)北約對學(xué)生考查的物理思想和能力的關(guān)注點(diǎn)也可見一斑.

圖1

解法1：根據(jù)矢量計(jì)算法則，可得初始時(shí)刻兩質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矢量和的大小為p0＝mv0.兩質(zhì)點(diǎn)能相距無窮遠(yuǎn)的臨界條件：一質(zhì)點(diǎn)相對另一質(zhì)點(diǎn)的速度為0，及兩質(zhì)點(diǎn)與質(zhì)心速度相同，設(shè)為v.由于系統(tǒng)動(dòng)量守恒，有mv0＝2mv.因此，在無窮遠(yuǎn)處，兩質(zhì)點(diǎn)有相同的速度.系統(tǒng)的能量守恒要求滿足

則初速率v0需要滿足的條件

解法2：動(dòng)量守恒m1＋m2＝m10＋m20，引入守恒量

令1＝u＋u1，2＝u＋u2，（1、2是對地速度，u1、u2是相對質(zhì)心速度），代入動(dòng)量守恒方程，可得mu1＋mu2＝0，u1＝－u2.系統(tǒng)的總動(dòng)能為

兩質(zhì)點(diǎn)相距無窮遠(yuǎn)時(shí)，它們相對質(zhì)心速度為0，因此總動(dòng)能的最小值Ekmin＝mu2.

兩質(zhì)點(diǎn)相距無窮遠(yuǎn)時(shí)，其引力勢能趨向于0.根據(jù)能量守恒，系統(tǒng)的初始總能量應(yīng)滿足

速率v0需要滿足的條件

得速率v0需要滿足的條件

解法4：由于只有萬有引力作用，所以系統(tǒng)動(dòng)量守恒，兩質(zhì)點(diǎn)能夠相距無窮遠(yuǎn)的條件是兩質(zhì)點(diǎn)質(zhì)心取得共同速度v.

在水平方向應(yīng)用動(dòng)量守恒定律，有

在豎直方向應(yīng)用動(dòng)量守恒定律，有

根據(jù)速度的適量合成規(guī)則，可得

根據(jù)系統(tǒng)的能量守恒

得速率v0需要滿足的條件

反思：本題研究質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，實(shí)際上是天體間運(yùn)動(dòng)的一種基本模型，需要相對質(zhì)心運(yùn)動(dòng)的能量全部用來克服引力做功，然后綜合運(yùn)用動(dòng)量守恒定律和機(jī)械能守恒定律來求出臨界條件.該題看似簡單，實(shí)則不然，既要求考生具有扎實(shí)的物理基礎(chǔ)，又要求具備綜合分析的能力，因此該題具備了選拔優(yōu)秀理科思維學(xué)生的功能.

1 龔勁濤，劉國躍，吳英.對機(jī)械能守恒定律條件的認(rèn)識［J］.物理教師，2006（11）.

2 劉德良.天體運(yùn)動(dòng)中的能量［J］.中學(xué)物理教學(xué)參考，2010（01）.