旋轉三棱鏡尋找色散光帶過程中出現的一些有趣現象引發的思考

石繼兵

（無錫市東湖塘中學，江蘇 無錫 214000）

利用圖1所示三棱鏡在太陽光下旋轉獲得色散光帶幾乎是每個初中物理教師經歷過的實驗，一般情況下教師會引導學生在教室內的墻壁上觀察色散現象.大部分教師對旋轉時色散現象發生的變化沒有仔細觀察過，三棱鏡在哪個位置范圍內旋轉時會出現彩色光帶？怎樣旋轉可以使色散光帶變得更寬？色散光帶會隨著三棱鏡的旋轉一直向同一方向偏轉嗎？為什么墻壁上的色散光帶位置最低時會有一個光斑與其重合？

圖1

1 色散光帶出現在墻壁上的原因

圖2所示為圖1位置時三棱鏡的主截面示意圖，太陽光從AB面射入時，經折射后從BC面射出，色散光帶相對于斜向下的入射光向底面AC偏折，所以在距離三棱鏡較遠的墻壁上出現了一條完全展開的色散光帶.

圖2

2 色散光帶的位置會先降低后升高

當三棱鏡從圖1所示位置順時針旋轉時，色散光帶并沒有預想的那樣從墻壁上的較高位置一直向下移動，而是出現了先降低到某個位置后又升高的現象.這其實是由于三棱鏡的最小偏向角造成的.

所謂偏向角是指所研究的單色光在三棱鏡主截面內折射時，出射光線和入射光線之間的夾角.圖3為單色光在三棱鏡主截面內的折射光路圖，其中α為入射角，β為出射角，∠1為AB面的折射角，∠2為BC面的入射角，δ為偏向角.

如圖3 所 示，四 邊 形DNEB中，∠NDB＝90°，∠NEB＝90°，∠DBE＝60°，∠DNE＝360°－90°－90°－60°＝120°.在△DNE中，∠1＋∠2＝180°－120°＝60°，δ＝（α－∠1）＋（β－∠2）＝α＋β－（∠1＋∠2）.則

圖3

以上兩式中，n為三棱鏡的介質折射率.由（1）、（2）式得

故由（1）、（3）式得

圖4

根據（3）、（4）式對于三棱鏡來說，入射角α一定時，有唯一確定的折射角β和唯一確定的偏向角δ與它對應.根據光路可逆性可知：如果單色光線以β角入射，那么折射角就一定等于α，則偏向角δ不變，也就是說：對同一個函數值δ有兩個不同的自變量數值α和β與之相對應.根據拉格朗日中值定理和進一步推導，可以證明：δ存在一個最小值，當α＝β時，偏向角δ最小.δ隨α的變化大致如圖4所示.表1是根據上面式子計算出的頂角為60°的三棱鏡，折射率n＝1.5的單色光對應的各個角度.

由表1看出：當α（α＞β）逐漸減小時，∠1減小，∠2增大，β增大.但是α減小的角度大于β增大的角度，所以δ減小，隨著α的數值越來越接近β，δ減小的越來越慢，當α＝β時，δ達到最小值.此后，α減小的角度小于β增大的角度，所以δ逐漸增大，隨著α的數值越來越小，δ增大得越來越快.

表1

當α＝β時，∠1＝∠2＝30°偏向角δ＝37.18°最小.當三棱鏡從圖1位置順時針旋轉時，所有單色光的偏向角先變小后變大，所以色散光帶的位置先降低后升高.分析數據還可看出，α在40°～60°范圍變化時，偏向角δ變化不大.這與色散光帶在最低位置附近時，三棱鏡偏轉的角度對色散光帶的位置幾乎無影響的現象吻合.

圖5

3 墻壁上的色散光帶位置最低時將與底面上的反射光斑重合

順時針旋轉三棱鏡使色散光帶下降到最低位置過程中，色散光帶中的每條單色光線的寬度增加，同時會看到底面AC反射的光斑與最低位置的色散光帶重合.圖5中，∠1＝ ∠2＝30°時，∠EDB＝90°－∠1＝60°.因為∠CAB＝60°，所以DE∥AC.又因為PO∥KD，所以∠POA＝θ1＝α－∠1.而∠QOC＝α－∠1，θ2＝β－∠2＝α－∠1，故θ2＝∠QOC，OQ∥EF.

由于紫光的出射角最大，底面AC的反射光與BC面出射的紫光最早達到平行，隨著三棱鏡的旋轉，紫光、藍光、綠光、黃光向上移動，底面AC的反射光斑向下移動，最后與紅光達到平行.在這個過程中，底面AC的反射光斑和BC面的出射光帶必定會有一個重合位置.

4 色散現象出現的角度范圍

三棱鏡旋轉到色散光帶與底面上的反射光斑重合后繼續順時針轉動時，光帶中每條單色光線的寬度將繼續增加，到達某個位置后，紫光先消失，各種單色光將依次消失，紅光最后消失，這是為什么呢？

（1）入射單色光經三棱鏡折射后能夠從三棱鏡出射是有條件的.表2為各單色光在三棱鏡中的折射率.

表2

表3

表3中列出發生色散時紅光、紫光的最小入射角，所以能看到完整色散光帶的入射角α的范圍是30.34°＜α＜90°.從表中看出，紫光第1個達到全反射的臨界角，先消失；紅光最后達到臨界角，最后消失.

（2）全反射后從第3個面折射出去的是光斑，而不是色散光帶.

從BC面全反射的各種單色光將從AC面射出（圖6），雖然各種色光在三棱鏡中偏折角度不同，但射出三棱鏡后仍然平行.D點附近位置射入的各條光線在AC面射出的光帶將彼此交叉重疊，并以同樣的角度射出，所以不產生色散現象.具體證明過程如下.

圖6

因為△ABC是等邊三角形，所以∠DBE＝∠FCE.根據光的反射定律，有∠DEB＝∠FEC.則△BDE∽△CFE.得∠BDE＝∠CFE，∠1＝∠2.

根據光路可逆性原理∠1對應的入射角α與∠2對應的折射角β相等，即β＝α.

同理可證γ＝α，則γ＝β.所以FG∥HM.

通過上面的分析，總結出在墻壁上能觀察到最佳色散光帶的調節步驟：① 先將三棱鏡的一個面調節到水平位置（此時這個面對應的頂角朝下），這時就會在墻壁上看到一條色散光帶，微調三棱鏡，調節到色散光帶與一個光斑重合.② 三棱鏡繼續旋轉一定角度使白色光斑向下移動一段距離，觀察到色散光帶向上移動，這個過程每條色散光的寬度較大，光帶位置較高，坐在座位上的學生觀察效果較好.

1 羅樂，何于江，吳本科.三棱鏡最小偏向角的推導［J］.工科物理，1997（4）.

2 王紹符.瀏覽三棱鏡光的色散復合實驗［J］.物理通報，2005（10）.