從力學角度分析各類汞柱流出問題

賴佳穎 張秀梅

（復旦大學附屬中學，上海 200433）

各類汞柱流出問題是高中熱學部分的難題，它需要學生具有較強的綜合分析能力和運用數學知識能力.在不少教輔書中，往往換一道題目，就會換一種解法，且常常突出數學計算而缺少物理意義的解析，令人費解.筆者從力學角度分析汞柱受力平衡條件結合氣體狀態分析，給出解決汞柱流出問題一種統一解法.

1 玻璃管倒置后汞柱流出問題

例1.一根長為L的均勻直玻璃管，開口向上，管內有一段長為h的汞柱封閉了一段長為l的理想氣體，如圖1，當玻璃管緩慢轉動直至其開口豎直向下，則應分別滿足什么條件，水銀將不會、部分或者全部流出？（已知水銀的密度為ρ，外界大氣壓強為p0，且p0≥ρgh.）

解析：在玻璃管緩慢轉動時，管內部氣體等溫膨脹，由于玻璃管的長度有限，所以到管口豎直向下時，汞柱可能不會、部分或者全部流出玻璃管，具體分析如下.

圖1

圖2

假設水銀流出了一部分，留在管內的水銀柱長為x（如圖2），如果此狀態水銀柱恰好處于平衡狀態，則有部分水銀可留在管內.設內部氣體壓強為p3，即p3滿足

而氣體狀態滿足

聯立（1）、（2）式解得

其中0＜x＜h，p0≥ρgh.

根據（3）式不難看出等號右側為一個隨x減小而單調遞增的函數.當x＝h時，函數最小，（p0＋ρgh）l＝（p0－ρgh）（L－h），表示此時水銀恰好沒有流出；當x＝0時，函數最大，（p0＋ρgh）l＝p0L，表示此時汞柱恰好全部流出，所以滿足（p0－ρgh）（L－h）＜（p0＋ρgh）l＜p0L時水銀部分流出.

當（p0＋ρgh）l≤（p0－ρgh）（L－h）時，水銀不流出；

當（p0－ρgh）（L－h）＜（p0＋ρgh）l＜p0L時，水銀部分流出；

當（p0＋ρgh）l≥p0L時，水銀全部流出.

圖3

2 滴入及吸出豎直管中水銀的問題

例2.豎直放置且開口向上的玻璃管中，有長為h的水銀柱封住一段長為l的空氣柱，水銀柱與玻璃管開口齊平（如圖3），已知水銀的密度為ρ，外界大氣壓為p0，下列變化的整個過程，氣體溫度始終保持不變.試問：

（1）若從管口向該管內滴入水銀，則p0、h、l應滿足什么條件才能在玻璃管口滴入水銀后不溢出？

（2）若從該管內吸出水銀，則p0、h、l應滿足什么條件才能在玻璃管口吸出部分水銀后管內汞柱能全部溢出？

圖4

解析：（1）從管口向管內滴入少量水銀，設滴入的水銀柱長為x（x＞0），若此時水銀柱與管口相平，它受到的合力為0或方向豎直向下，這代表汞柱能全部留在管內而不溢出.設此時氣體壓強為p1，即滿足

氣體狀態，根據氣態方程可得

（2）從管內吸出水銀，此類問題與（1）相似，設汞柱被吸出長為x后，管內汞柱與玻璃管開口齊平時（如圖5），它受到的合力方向豎直向上，則水銀將會自動溢出.設此狀態氣體壓強為p2，即滿足

氣體狀態根據氣態方程可得

由（3）、（4）式可解得

圖5

通過以上的分類討論，我們不難發現，利用氣體狀態方程結合汞柱平衡條件的判斷可以很好地解決各種汞柱流出問題，不僅僅對于本文中所討論的等溫變化，也同樣適用于各種升溫膨脹問題.這種方法的優點在于統一了不同問題的解題思路，還原了汞柱流出真正的物理特征，即受力不平衡，也讓學生可以更好地了解數學不等式所表達的物理意義，方便學生理解和建立解決同類問題的思路，能夠做到舉一反三.