對2014年一道北約物理題的賞析

祝智浩

（紹興市第一中學，浙江 紹興 312000）

1 問題提出

2014年“北約”自主招生物理試題解答題第1題：在真空中，質量為m1和m2的兩個小球，只受萬有引力作用，某個時刻，兩球相距L0，m1的速度為v0，方向指向m2，m2的速度為v0，速度垂直于兩球球心連線，問當速度v0滿足什么關系時，兩個小球的間距可以為無窮遠.

2 問題求解

要確定物體的運動情況，需明確該物體各個時刻（位置）的受力情況以及初始條件.若單獨以m1為研究對象，則m1受力的大小和方向均受到m2位置的約束，而m2位置的確定又與m1的運動情況有關，因此兩物體所受的變力難以描述.

為了解決這個困難，可以有兩種辦法：

（1）轉變研究對象，取系統為研究對象，將變力化為內力，避開變力的描述；

（2）轉化參考系，在m1的參考系中研究m2的運動，方便變力的描述.

方法1.在地面參考系中取系統為研究對象.

在地面參考系中取m1和m2組成的系統為研究對象，由于系統不受外力，所以系統的動量和機械能均守恒；且當兩球間距無窮遠時，勢能為0.

如圖1所示建立坐標系，設m1的末速度在x、y方向上的分量為v1x、v1y，m2的末速度在x、y方向上的分量為v2x、v2y.

根據系統動量守恒有

圖1

系統機械能守恒，有

（3）式等號右邊整理為

對于第一項，利用（1）式消去v2x，得

同理，

所以

化簡有

方法2.在質心參考系中取系統為研究對象.

在質心系中取系統為研究對象，該質心系中，仍只有保守內力做功，故系統機械能守恒.

如圖1所示，由質心速度的定義可知

同理

由系統機械能守恒定律，有

又Ek末≥0，將v1x′、v1y′、v2x′、v2y′代入，有

由系統機械能守恒定律，有

方法3.在m1的參考系中以m2為研究對象.

方法1與方法2在慣性系中取系統為研究對象，避開了兩球間復雜的變力；而變力描述的復雜性源于兩球均在運動，為了解決這個問題，可以m1為參考系，研究m2的運動.

圖2

雖多加了一個慣性力，但不管是慣性力還是萬有引力，均是時刻指向m1的有心力，在有心力場中描述m2的運動就方便多了.

m2相對于m1的初速度為v21＝，即以m1為參考系，m1的初動能Ek＝.設相對于m1的末動能為Ek′（Ek′≥0），對m2運用動能定理，有

由于F與F′的方向時刻指向m1，即在m1的參考系中為有心力，因此上式等號左邊積分

又Ek＝m2v02，Ek′≥0，所以

1 陳鋼，阮中中.柯尼希定理運用于兩體問題的討論［J］.物理與工程，2010，（1）：21.

2 張新華.引入約化質量 破解物理競賽中的二體問題［J］.物理通報，2012，（7）：99.