高等數(shù)學教學中融入數(shù)學建模的思考與探索

楊燕新，王文斌

(山西農(nóng)業(yè)大學，山西 太谷030801)

高等數(shù)學是農(nóng)科及理工科大學生在大學期間必修的、最基礎(chǔ)的課程。學習高等數(shù)學的效果對其他專業(yè)課程的影響很大。因此，從學校、老師到學生都非常重視這門基礎(chǔ)課程的學習。由于高等數(shù)學比較抽象，邏輯性非常強，要學好不容易。學生如果能夠通過了解他的具體應用來產(chǎn)生興趣，這樣就能更快理解和掌握這門課程，同時也不會出現(xiàn)死讀書、讀死書的現(xiàn)象。傳統(tǒng)的數(shù)學課程，總是習慣于套用公式、套用方法，缺少創(chuàng)新意識，不會從研究具體問題出發(fā)，并從中發(fā)現(xiàn)各種問題中存在的聯(lián)系，再去尋找解決的辦法。而數(shù)學建模正是解決這一問題的橋梁和紐帶。

培養(yǎng)學生應用數(shù)學的意識和能力已經(jīng)成為數(shù)學教學的一個重要方面。教師可以通過建模使學生反過來更好的理解和應用高等數(shù)學。在高等數(shù)學教學中融入數(shù)學建模的思想和方法，不僅可以引導學生學會發(fā)現(xiàn)、思考問題，而且還可以教導學生如何將高等數(shù)學和數(shù)學建模聯(lián)合達到相輔相成的一些策略方法，從而有助于增強學生的應用能力和實踐能力。

一、高等數(shù)學教學中融入數(shù)學建模的思路

數(shù)學建模是將某一領(lǐng)域或部門的某一實際問題，通過做一些必要的簡化和假設，明確變量和參數(shù)，并依據(jù)某種內(nèi)在的“規(guī)律”，運用適當?shù)臄?shù)學理論，建立變量和參數(shù)間的一個明確的數(shù)學關(guān)系式，這個數(shù)學關(guān)系式即為數(shù)學模型，建立這個數(shù)學模型的過程即為數(shù)學建模。

可見，數(shù)學建模就是應用數(shù)學的語言和方法對一個實際問題所做的設計。數(shù)學模型要么可以解釋特定現(xiàn)象的現(xiàn)實性，要么可以預測事物的未來狀況，要么可以提供處理事情的最優(yōu)決策。數(shù)學建模沒有固定模式，沒有統(tǒng)一的標準答案，他只求合理，鼓勵創(chuàng)新。因此，在數(shù)學建模的活動中，學生的創(chuàng)新潛能將會得到更大地開發(fā)。

應用是數(shù)學建模的源泉。高等數(shù)學的形成和發(fā)展直接來源于物理、天文、幾何等研究領(lǐng)域的研究進展和突破。高等數(shù)學的傳統(tǒng)教學片面地強調(diào)理論的系統(tǒng)性、結(jié)構(gòu)的嚴密性，卻輕視了基本概念的實際背景，實際意義的解釋，割裂了微積分與外部世界的密切聯(lián)系，沒有能充分顯示微積分的巨大生命力與應用價值，使學生學了一大堆的定義、定理和公式，卻不知道對實際問題有什么作用。鑒于此，我們在高等數(shù)學的教學過程中，結(jié)合了不同的教學內(nèi)容進行應用，把數(shù)學建模的思想作為課堂教學內(nèi)容的一項必要補充，利用具體事例融入到課堂教學之中。

例如，學習完導數(shù)的相關(guān)知識后，可以給學生布置作業(yè)去解決求解最低成本、最大利潤等方面比較直接的應用。對于基礎(chǔ)較好的學生，還可以將上述兩者結(jié)合起來，在最低成本條件下配置生產(chǎn)能力來滿足特定已知需要量或其他類似條件。又如，我們給出以下題目讓學生自己建模:一飼養(yǎng)場每天投入5元資金用于飼料、設備、人力，估計可使一頭80公斤重的生豬每天增加2公斤。目前生豬出售的市場價格為每公斤8元，但是預測每天會降低0．1元，問該場應該什么時候出售這樣的生豬才可以獲得最大利潤。為了解決這個問題，學生要先通過分析得出是求最值的問題，再進一步列出相關(guān)的約束條件，列出收入、產(chǎn)出和利潤之間的關(guān)系來進行建模。通過這些建模，不僅激發(fā)了學生利用數(shù)學的思想和原理解決實際問題，而且提高了學生數(shù)學應用的能力，進一步鞏固了數(shù)學中導數(shù)的知識。

建模有時也需要用到微積分以外的其他數(shù)學工具。建立解決實際問題的數(shù)學模型能力的培養(yǎng)，不僅與數(shù)學基礎(chǔ)知識的積累有關(guān)，而且依賴于其他學科知識與經(jīng)驗的積累和靈活運用。因此，在引入數(shù)學模型時，要緊密結(jié)合所學內(nèi)容，使得應用有一個由淺入深、循序漸進的過程。先由簡單的專業(yè)應用調(diào)動起學生自己解決問題的主動性和積極性，不能讓學生有可望而不可及的感覺。而且，數(shù)學建模還需要有系統(tǒng)的數(shù)學軟件知識，教師在課堂上還要貫穿講解諸如Mat lab、Mathematic、Math Type等數(shù)學軟件，并在課堂時間給學生上機學習的機會，以進一步鞏固對應知識點。復雜的數(shù)據(jù)計算和處理在這些數(shù)學軟件里不再是難題，從而減小了學生在高等數(shù)學學習中對繁雜計算的畏懼心里。例如有這樣一題:在冷卻過程中，物體的溫度在任何時刻變化的速率大致正比于他的溫度與周圍介質(zhì)溫度之差，這一結(jié)論稱為牛頓冷卻定律，該定律同樣用于加熱過程。一個煮硬了的雞蛋有98℃，將它放在18℃的水池里，5分鐘后，雞蛋的溫度為38℃，假定沒有感到水變熱，雞蛋要達到20℃，讓學生計算需要多少時間。為了解決這一問題，第一，學生要先理解牛頓冷卻定律;第二，題中沒有感到水變熱的意思是池中水溫近似不變;第三，溫度變化率是溫度對時間的導數(shù)。只有上述條件下，才能列出相關(guān)的微分方程來建模解決所需時間，前兩個條件都是微積分之外的知識。

二、高等數(shù)學中數(shù)學建模的具體步驟

建立數(shù)學模型的過程，是把錯綜復雜的實際生活問題簡化、抽象為合理的數(shù)學結(jié)構(gòu)的過程。要通過調(diào)查、收集數(shù)據(jù)資料，觀察和研究實際對象的固有特征和內(nèi)在規(guī)律，抓住問題的主要特征，建立起能夠反映實際問題的數(shù)量關(guān)系，然后利用數(shù)學的理論和方法去分析和解決問題。

建模步驟包括模型準備、模型假設、模型建立及求解、分析、檢驗等。模型準備是指了解問題的實際背景和實際意義，掌握研究對象的各種信息。用數(shù)學思想來包含問題的精髓，并以數(shù)學思路貫穿問題的全過程，進一步用數(shù)學語言來描述問題，在這一模型假設中要求符合數(shù)學理論，符合數(shù)學習慣，清晰準確。數(shù)學模型的建立是在假設的基礎(chǔ)上，利用適當?shù)臄?shù)學工具來表達各量之間的數(shù)學關(guān)系。求解是利用獲取的數(shù)據(jù)資料，對模型的所有參數(shù)做出計算或者近似計算。進一步對所要建立模型的思路進行描述，對所得的結(jié)果進行數(shù)學上的分析。并將模型分析結(jié)果與實際情形進行比較，以此來驗證模型的準確性、合理性和適用性。如果模型與實際較吻合，則要對計算結(jié)果給出其實際含義，并進行解釋。如果模型與實際吻合較差，則應該修改假設，再次重復建模過程。

疾病的預測就是數(shù)學建模的一個很好的例子:為了預測某病菌感染情況，先要了解該病菌的一些諸如危害、潛伏期、傳播途徑等基本的知識，以上即為建模前的準備。

在數(shù)學建模時，我們做以下幾種假設，分別為:

(1)單位時間感染的人數(shù)與現(xiàn)有的感染者成比例;

(2)單位時間內(nèi)治愈的人數(shù)與現(xiàn)有的感染者成比例;

(3)單位時間內(nèi)死亡的感染者人數(shù)與現(xiàn)有的感染者成比例;

(4)患者治愈恢復后不再被感染;

(5)各類人口的自然死亡可以忽略;

(6)忽略遷移的影響。

在以上假設的前提下，令Ⅰ(t)是第t天時該病菌感染者的數(shù)量，b(t)為感染率，d(t)為死亡率，c(t)為治愈率，則模型建立為:

根據(jù)感染這種病菌的數(shù)據(jù)是按天公布的這一特點，求解可得 Ⅰ(t+1)= Ⅰ(t)+r(t)Ⅰ(t)。

只要知道開始時病菌的感染人數(shù)和函數(shù)r(t)，就可以利用該模型進行預測。利用實際數(shù)據(jù)計算，再進行曲線擬合，分別如圖1、圖2所示。

圖 1 擬合曲線 b(t)=0．019+0．223le-0．1184t

圖 2 擬合曲線 c(t)+d(t)=0．095-0．0665t0．1202e-0．0005t2。

從而可以得到全國在醫(yī)病人隨時間的變化曲線及新增病人隨時間的變化曲線，如圖3、圖4所示。

圖3 全國在醫(yī)病人數(shù)隨時間變化曲線

圖4 全國每天新增病人數(shù)隨時間變化曲線

三、開展數(shù)學建模訓練活動

高等學校如果能適當開展數(shù)學建模競賽活動，不僅可以加強學生的數(shù)學基本知識訓練和數(shù)學知識的應用能力，還能培養(yǎng)學生的創(chuàng)新能力，同時也可以為參加全國大學生數(shù)學建模競賽選拔優(yōu)秀隊員。需要強調(diào)的是，數(shù)學建模中引導學生提出問題、發(fā)現(xiàn)問題是創(chuàng)新的源頭。要想在高等數(shù)學的學習中有所突破、有所創(chuàng)新，就必須讓學生學會自己發(fā)現(xiàn)問題，提出問題。因此，把握好課后建模實踐訓練關(guān)，是鞏固和深化課堂教學的關(guān)鍵步驟。

教師可以通過布置課后題目來完成數(shù)學建模訓練。例如，我們課后留給學生訓練題目:報童每天清晨從報社購進報紙零售，晚上將沒有賣完的報紙退回。設每份報紙的購進價為a，零售價為b，退回價為c。也就是說，報童售出一份報紙賺b-a，退回一份報紙賠c-a。報童如果每天購進的報紙?zhí)伲粔蛸u則少賺錢;購進太多，賣不完，將要賠錢。請學生為報童籌劃一下，報童應該如何確定每天購進報紙的數(shù)量，以獲得最大的收入。通過分析，學生自己提出來這樣的問題:報童賣報有賺錢、不賺錢和賠錢三種結(jié)果。賺錢時又分為進報量大于需求量和進報量小于需求量兩種情況。還有訂購量與最終收益正相關(guān)，但同時訂購量又由需求量來約束，不可能無限增大，最終從實際出發(fā)確定進報量。當然，這些訓練題是可以用課堂上講過的方法進行建模，也可以是對課上某個問題做進一步的討論，可以達到鞏固課堂教學的目的。

在學完有關(guān)數(shù)學知識單元后，可以布置該單元知識的訓練題，在一定的時間內(nèi)讓學生進行建模強化訓練，并且對每次的訓練題要完整地完成從提出問題、分析問題、建立模型、求解模型到模型的分析、檢驗、推廣的全過程。當我們完成一個數(shù)學建模的全過程后，再進一步把所作的工作進行小結(jié)，寫成論文。要求論文的思路清晰、條理有序，通過這一過程的強化訓練，使學生的建模能力得到充分地鍛煉和提高。當然，教師在有限的時間內(nèi)對訓練論文中出現(xiàn)的問題也要及時提出指正意見，并組織全體學生對訓練論文進行專題討論，讓學生講述自己論文的構(gòu)思、建模的思想與方法。通過交流，大家互相學習、取長補短達到共同提高的目的。

在數(shù)學建模課程中，配合以適當?shù)囊龑Т胧梢宰寣W生產(chǎn)生不少知識創(chuàng)新。既能增強相關(guān)數(shù)學課程的學習效果，又可以激發(fā)學生的科研興趣，培養(yǎng)學生的科研能力，甚至涌現(xiàn)出一些應用型的科研人才和科研團隊。

四、教學效果分析

山西農(nóng)業(yè)大學近幾年來一直都堅持組隊參加全國大學生數(shù)學建模競賽，并多次榮獲一、二等獎。這些成績都說明，在高等數(shù)學教學中融入數(shù)學建模，開設各種形式的數(shù)學建模課程和講座，為培養(yǎng)學生利用數(shù)學方法分析、解決實際問題的能力開辟了一條有效的途徑。

當然，指導學生進行數(shù)學建模對于相應代課教師也是一個發(fā)展和提高的過程，也就是說，青年教師也是數(shù)學建模的受益者。為此，在高等數(shù)學教學中融入數(shù)學建模，在教學中體現(xiàn)數(shù)學建模的思想，注重培養(yǎng)學生解決實際問題的能力，是數(shù)學教育改革的發(fā)展方向。這樣，不僅可以帶動學科的發(fā)展，而且可以促進學生的進步，同時還能促進教師素質(zhì)、教學水平進一步提高。

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