概率易混概念辨析舉例

朱月祥

摘要：概率教學尤其需要加強對概念的辨析和概型的把握。互斥與獨立，至多與至少，串聯與并聯，有序與無序，有放回與無放回等五組概念，一直是概率學習中容易混淆的。本文試就這五組容易混淆的概念加以辨析，并舉例說明。

關鍵詞：概率易混概念；辨析

中圖分類號：G427 文獻標識碼：A 文章編號：1992-7711（2014）01-087-1

一、互斥事件與獨立事件

互斥事件指不可能同時發生的兩個事件，而兩個事件獨立指事件A（B）的發生與否對事件B（A）發生的概率無影響。互斥事件A，B至少有一個發生的概率計算的加法公式P（A+B）=P（A）+P（B），而相互獨立的事件A，B同時發生的概率計算的乘法公式是P（A·B）=P（A）·P（B）。在解題時，我們應根據其定義準確判斷事件間的關系，從而選用相應的公式。對比較復雜的事件，應設法將其分解成一些彼此互斥的事件的和，以便于計算。

例1 第48屆世乒賽2005年4月在上海舉行，在男單半決賽中，中國選手馬琳與丹麥新秀梅茲相遇。若每局馬琳獲勝的概率為2/3，梅茲獲勝的概率為1/3，比賽采用七局四勝制，求馬琳獲勝的概率。

解：馬琳獲勝有四種情況，即分別以4∶0，4∶1，4∶2，4∶3的總分戰勝梅茲，而這四種情況不可能同時發生，因此可將事件“馬琳獲勝”分解為四個互斥事件“馬4∶0勝梅”、“馬4∶1勝梅”、“馬4∶2勝梅”、“馬4∶3勝梅”的和。又由于每局比賽相互獨立，所以每個互斥事件發生的概率又可利用獨立事件發生的概率公式求得。

二、至多與至少

“至多”與“至少”是對事件發生數量上、下限的規定。如事件A，B，C至少有一個發生指A，B，C中最起碼有一個發生，即可發生1個，可能發生2個，也可能三個全發生，它的對立事件是A，B，C全不發生。而事件A，B，C至多有一個發生則指A，B，C中頂多發生1個，即可能發生1個，也可能全不發生，它的對立事件是A，B，C中恰有2個發生及三個全發生。解決“至多”與“至少”的問題關鍵是理解其本質，常轉化為其對立事件的概率來計算。

例2 甲、乙、丙三人分別獨立解一道題，甲、丙兩人均解錯的概率為1/12，乙、丙兩人均解對的概率為1/4，三人中至多兩人解對的概率為13/16。求甲、乙、丙三人中至少有一人做對這道題的概率？

解：本題是關于“至多“、”“至少”的綜合問題。事件“三人中至多兩人解對”與“至少有一人做對”的對立事件分別為“三人全做對”與“三人都沒有做對”，因此轉化為對立事件的概率來計算較為方便。

三、串聯與并聯

串聯與并聯是系統內元件間不同的連接方式（分別如圖1，2）所示，一個系統的可靠度即正常工作的概率取決于每個元件的可靠度及元件間的連接方式。串聯系統的特點是當其中一個元件發生故障時，系統就發生故障，即當且僅當幾個元件同時工作時，系統才正常工作。并聯系統的特點是當其中一個元件正常工作時，系統就正常工作，即當且僅當幾個元件全發生故障時，系統才發生故障。

若事件Ai={元件Ai正確工作}（i=1，2，…，n），則得：

四、有順序與無順序

“有順序”與“無順序”是描述看待事件的兩種不同角度。在進行概率計算時，我們可以用不同的模型來描述同一隨機現象，只要在同一樣本空間中求解，結論總是一致的。這就要求我們在計算基本事件總數及有利事件數時，要么都考慮順序，要么都不考慮順序。否則，容易出錯。

例3 把9本不同的書平均分成三組，其中A，B，C三本分在同一組的概率P是多少？

解法：作無順序考慮，三組不加區別，因為9本書平均分成三組共有

五、有放回與無放回

“有放回”與“無放回”是抽取問題中容易混淆的一對概念。“有放回”指被抽取元素抽出后，又放回到總體中，這樣每次抽取時，被抽總體元素個數總是相同的，每次抽取相互獨立，互不影響，實質就是獨立重復實驗。而“無放回”指被抽取元素抽出后，不再放回到總體中，這樣每次抽取時，被抽總體中元素個數不相同，每次抽取不再獨立，具相互影響。

例4 某人有n把鑰匙，其中僅有1把可以打開房間，按下列方式開門，求房門恰在第k次被打開的概率。

（1）隨機逐個用鑰匙試開門，試驗后不放回；

（2）隨機逐個用鑰匙試開門，試驗后放回。endprint

摘要：概率教學尤其需要加強對概念的辨析和概型的把握。互斥與獨立，至多與至少，串聯與并聯，有序與無序，有放回與無放回等五組概念，一直是概率學習中容易混淆的。本文試就這五組容易混淆的概念加以辨析，并舉例說明。

關鍵詞：概率易混概念；辨析

中圖分類號：G427 文獻標識碼：A 文章編號：1992-7711（2014）01-087-1

一、互斥事件與獨立事件

互斥事件指不可能同時發生的兩個事件，而兩個事件獨立指事件A（B）的發生與否對事件B（A）發生的概率無影響。互斥事件A，B至少有一個發生的概率計算的加法公式P（A+B）=P（A）+P（B），而相互獨立的事件A，B同時發生的概率計算的乘法公式是P（A·B）=P（A）·P（B）。在解題時，我們應根據其定義準確判斷事件間的關系，從而選用相應的公式。對比較復雜的事件，應設法將其分解成一些彼此互斥的事件的和，以便于計算。

例1 第48屆世乒賽2005年4月在上海舉行，在男單半決賽中，中國選手馬琳與丹麥新秀梅茲相遇。若每局馬琳獲勝的概率為2/3，梅茲獲勝的概率為1/3，比賽采用七局四勝制，求馬琳獲勝的概率。

解：馬琳獲勝有四種情況，即分別以4∶0，4∶1，4∶2，4∶3的總分戰勝梅茲，而這四種情況不可能同時發生，因此可將事件“馬琳獲勝”分解為四個互斥事件“馬4∶0勝梅”、“馬4∶1勝梅”、“馬4∶2勝梅”、“馬4∶3勝梅”的和。又由于每局比賽相互獨立，所以每個互斥事件發生的概率又可利用獨立事件發生的概率公式求得。

二、至多與至少

“至多”與“至少”是對事件發生數量上、下限的規定。如事件A，B，C至少有一個發生指A，B，C中最起碼有一個發生，即可發生1個，可能發生2個，也可能三個全發生，它的對立事件是A，B，C全不發生。而事件A，B，C至多有一個發生則指A，B，C中頂多發生1個，即可能發生1個，也可能全不發生，它的對立事件是A，B，C中恰有2個發生及三個全發生。解決“至多”與“至少”的問題關鍵是理解其本質，常轉化為其對立事件的概率來計算。

例2 甲、乙、丙三人分別獨立解一道題，甲、丙兩人均解錯的概率為1/12，乙、丙兩人均解對的概率為1/4，三人中至多兩人解對的概率為13/16。求甲、乙、丙三人中至少有一人做對這道題的概率？

解：本題是關于“至多“、”“至少”的綜合問題。事件“三人中至多兩人解對”與“至少有一人做對”的對立事件分別為“三人全做對”與“三人都沒有做對”，因此轉化為對立事件的概率來計算較為方便。

三、串聯與并聯

串聯與并聯是系統內元件間不同的連接方式（分別如圖1，2）所示，一個系統的可靠度即正常工作的概率取決于每個元件的可靠度及元件間的連接方式。串聯系統的特點是當其中一個元件發生故障時，系統就發生故障，即當且僅當幾個元件同時工作時，系統才正常工作。并聯系統的特點是當其中一個元件正常工作時，系統就正常工作，即當且僅當幾個元件全發生故障時，系統才發生故障。

若事件Ai={元件Ai正確工作}（i=1，2，…，n），則得：

四、有順序與無順序

“有順序”與“無順序”是描述看待事件的兩種不同角度。在進行概率計算時，我們可以用不同的模型來描述同一隨機現象，只要在同一樣本空間中求解，結論總是一致的。這就要求我們在計算基本事件總數及有利事件數時，要么都考慮順序，要么都不考慮順序。否則，容易出錯。

例3 把9本不同的書平均分成三組，其中A，B，C三本分在同一組的概率P是多少？

解法：作無順序考慮，三組不加區別，因為9本書平均分成三組共有

五、有放回與無放回

“有放回”與“無放回”是抽取問題中容易混淆的一對概念。“有放回”指被抽取元素抽出后，又放回到總體中，這樣每次抽取時，被抽總體元素個數總是相同的，每次抽取相互獨立，互不影響，實質就是獨立重復實驗。而“無放回”指被抽取元素抽出后，不再放回到總體中，這樣每次抽取時，被抽總體中元素個數不相同，每次抽取不再獨立，具相互影響。

例4 某人有n把鑰匙，其中僅有1把可以打開房間，按下列方式開門，求房門恰在第k次被打開的概率。

（1）隨機逐個用鑰匙試開門，試驗后不放回；

（2）隨機逐個用鑰匙試開門，試驗后放回。endprint

摘要：概率教學尤其需要加強對概念的辨析和概型的把握。互斥與獨立，至多與至少，串聯與并聯，有序與無序，有放回與無放回等五組概念，一直是概率學習中容易混淆的。本文試就這五組容易混淆的概念加以辨析，并舉例說明。

關鍵詞：概率易混概念；辨析

中圖分類號：G427 文獻標識碼：A 文章編號：1992-7711（2014）01-087-1

一、互斥事件與獨立事件

互斥事件指不可能同時發生的兩個事件，而兩個事件獨立指事件A（B）的發生與否對事件B（A）發生的概率無影響。互斥事件A，B至少有一個發生的概率計算的加法公式P（A+B）=P（A）+P（B），而相互獨立的事件A，B同時發生的概率計算的乘法公式是P（A·B）=P（A）·P（B）。在解題時，我們應根據其定義準確判斷事件間的關系，從而選用相應的公式。對比較復雜的事件，應設法將其分解成一些彼此互斥的事件的和，以便于計算。

例1 第48屆世乒賽2005年4月在上海舉行，在男單半決賽中，中國選手馬琳與丹麥新秀梅茲相遇。若每局馬琳獲勝的概率為2/3，梅茲獲勝的概率為1/3，比賽采用七局四勝制，求馬琳獲勝的概率。

解：馬琳獲勝有四種情況，即分別以4∶0，4∶1，4∶2，4∶3的總分戰勝梅茲，而這四種情況不可能同時發生，因此可將事件“馬琳獲勝”分解為四個互斥事件“馬4∶0勝梅”、“馬4∶1勝梅”、“馬4∶2勝梅”、“馬4∶3勝梅”的和。又由于每局比賽相互獨立，所以每個互斥事件發生的概率又可利用獨立事件發生的概率公式求得。

二、至多與至少

“至多”與“至少”是對事件發生數量上、下限的規定。如事件A，B，C至少有一個發生指A，B，C中最起碼有一個發生，即可發生1個，可能發生2個，也可能三個全發生，它的對立事件是A，B，C全不發生。而事件A，B，C至多有一個發生則指A，B，C中頂多發生1個，即可能發生1個，也可能全不發生，它的對立事件是A，B，C中恰有2個發生及三個全發生。解決“至多”與“至少”的問題關鍵是理解其本質，常轉化為其對立事件的概率來計算。

例2 甲、乙、丙三人分別獨立解一道題，甲、丙兩人均解錯的概率為1/12，乙、丙兩人均解對的概率為1/4，三人中至多兩人解對的概率為13/16。求甲、乙、丙三人中至少有一人做對這道題的概率？

解：本題是關于“至多“、”“至少”的綜合問題。事件“三人中至多兩人解對”與“至少有一人做對”的對立事件分別為“三人全做對”與“三人都沒有做對”，因此轉化為對立事件的概率來計算較為方便。

三、串聯與并聯

串聯與并聯是系統內元件間不同的連接方式（分別如圖1，2）所示，一個系統的可靠度即正常工作的概率取決于每個元件的可靠度及元件間的連接方式。串聯系統的特點是當其中一個元件發生故障時，系統就發生故障，即當且僅當幾個元件同時工作時，系統才正常工作。并聯系統的特點是當其中一個元件正常工作時，系統就正常工作，即當且僅當幾個元件全發生故障時，系統才發生故障。

若事件Ai={元件Ai正確工作}（i=1，2，…，n），則得：

四、有順序與無順序

“有順序”與“無順序”是描述看待事件的兩種不同角度。在進行概率計算時，我們可以用不同的模型來描述同一隨機現象，只要在同一樣本空間中求解，結論總是一致的。這就要求我們在計算基本事件總數及有利事件數時，要么都考慮順序，要么都不考慮順序。否則，容易出錯。

例3 把9本不同的書平均分成三組，其中A，B，C三本分在同一組的概率P是多少？

解法：作無順序考慮，三組不加區別，因為9本書平均分成三組共有

五、有放回與無放回

“有放回”與“無放回”是抽取問題中容易混淆的一對概念。“有放回”指被抽取元素抽出后，又放回到總體中，這樣每次抽取時，被抽總體元素個數總是相同的，每次抽取相互獨立，互不影響，實質就是獨立重復實驗。而“無放回”指被抽取元素抽出后，不再放回到總體中，這樣每次抽取時，被抽總體中元素個數不相同，每次抽取不再獨立，具相互影響。

例4 某人有n把鑰匙，其中僅有1把可以打開房間，按下列方式開門，求房門恰在第k次被打開的概率。

（1）隨機逐個用鑰匙試開門，試驗后不放回；

（2）隨機逐個用鑰匙試開門，試驗后放回。endprint