二次函數的最值問題教學研究

丁杰良

如何開展習題課教學呢？筆者以“二次函數的最值問題”教學為例談點看法.

一、教學呈現

1.問題式導入

在教學中，筆者設置了一個問題導入：要求學生在草稿紙上嘗試著畫一組二次函數的圖象，并要求學生對自己畫的圖象進行解釋，分析其特點.

評析：通過這樣的導入形式，改變了傳統的習題課一上來就要求學生做題目的弊端，讓學生自主回顧和復習二次函數的圖象和性質，很自然地切入到習題課的主題，當然學生作圖時有些還是存在困難的，在學生作圖的過程中，筆者積極巡視，發現問題并及時予以指導.

2.巧妙選題

（1）小切口熱身

在該節課教學時，筆者選擇了較低難度的例題，讓學生首先熱身.

例1①函數f（x）=x2+2x+3的最小值為多少？（定義域為R）

②函數f（x）=x2+2x+3在區間[0，10]上的最小值和最大值分別為多少？

這兩個小問題，學生較容易解決，能夠很快熱身并融入課堂研究.

（2）精選范例深化研究

教學需要一定的梯度，不能總在簡單問題上徘徊，要循序漸進，精選范例推進認知深化.

例2求函數f（x）=x2-2x-3在區間[2，3]上的最小值.

學生完成該題后，再進行變式訓練，推進思維向縱深發展.

變式：求f（x）=x2-ax-3在區間[2，3]上的最小值.

變式與例2相比有一個小小的變化，學生需要一定的思維力度.從學生的解題來看，學生容易得到f（x）=（x-a2）2-a24-3.這時，學生思維出現了斷層.為了幫助學生實現思維的銜接，筆者追加一個問題.

追問：函數f（x）=（x-a2）2-a4-3的最小值是多少？是不是（-a24-3）？

通過追問，學生的思維有了落腳點.學生獨立思考，函數圖象自然得到.解決時，函數定義域為[2，3]，對稱軸為x=a2，只需要討論對稱軸x=a2與[2，3]的位置關系.

變式訓練完成后，要求學生反思，讓學生在反思解題過程中實現知識、方法的內化，數學素養得到提升.這樣做符合新課程理念，這一過程是學生的自主行為，是教師的講授無法替代的.

3.學生自主編題

學生自主編題需要一定的引導.從上述例題出發，筆者做如下提示：上述例題中函數的對稱軸和區間都是確定的，而變式的區間定、對稱軸動，根據上述情境，自己嘗試著改編成一道題目.從學生的自主編題情況來看，學生的思維具有發散性，然后要求學生進行交流匯報，促使學生有效地掌握知識和方法.學生自主編題的過程是應用知識和思考方法的過程，也是主動參與學習的重要特征.

二、幾點反思

1.習題課的設計思想應遵循新課程理念

習題課是學生應用課堂所學知識進行問題解決的課型，當問題無法解決時，學生會有緊張的感覺，特別是高考模式下，升學的壓力不容忽視，因此我們的選題，必須考慮到學生的具體實際，問題的設置要有利于調節學生的學習情感，同時又要客觀地暴露出學生解題過程和方法上的問題或閃光點，教學過程中要增加師生互動，通過課堂巡視、相互交流等形式，有效地鞏固數學知識和數學思想方法，促進三維教學目標的達成.

2.確保學生的主體地位和教師的主導作用

盡管教師必須講解，但其目的主要是給學生作示范，帶動學生思考，所以教師要做好導演，把學生的積極性充分調動起來，使學生進入角色，保證學生的主體地位，教師切忌喧賓奪主.同時，教師要面向全體學生組織教學，特別要更多地關心學困生的學習，及時給予幫助和指導.

3.注重例題資源的充分挖掘

習題課更要講究課堂教學效率，同時兼顧學生的可接受性.要注意變式處理，同時留足學生思維的時間和空間，通過變式訓練引導學生在互動中樹立生成性意識，此外，對于一道習題有時又存在多種解決問題的方法，此時注重解法的挖掘也有利于學生思維能力的提升.

總之，我們的習題教學，要讓學生感受到數學的嚴謹、抽象，切身體驗到了高中數學的趣與美，借此提升學習數學的熱情和固化學好數學的信心.

如何開展習題課教學呢？筆者以“二次函數的最值問題”教學為例談點看法.

一、教學呈現

1.問題式導入

在教學中，筆者設置了一個問題導入：要求學生在草稿紙上嘗試著畫一組二次函數的圖象，并要求學生對自己畫的圖象進行解釋，分析其特點.

評析：通過這樣的導入形式，改變了傳統的習題課一上來就要求學生做題目的弊端，讓學生自主回顧和復習二次函數的圖象和性質，很自然地切入到習題課的主題，當然學生作圖時有些還是存在困難的，在學生作圖的過程中，筆者積極巡視，發現問題并及時予以指導.

2.巧妙選題

（1）小切口熱身

在該節課教學時，筆者選擇了較低難度的例題，讓學生首先熱身.

例1①函數f（x）=x2+2x+3的最小值為多少？（定義域為R）

②函數f（x）=x2+2x+3在區間[0，10]上的最小值和最大值分別為多少？

這兩個小問題，學生較容易解決，能夠很快熱身并融入課堂研究.

（2）精選范例深化研究

教學需要一定的梯度，不能總在簡單問題上徘徊，要循序漸進，精選范例推進認知深化.

例2求函數f（x）=x2-2x-3在區間[2，3]上的最小值.

學生完成該題后，再進行變式訓練，推進思維向縱深發展.

變式：求f（x）=x2-ax-3在區間[2，3]上的最小值.

變式與例2相比有一個小小的變化，學生需要一定的思維力度.從學生的解題來看，學生容易得到f（x）=（x-a2）2-a24-3.這時，學生思維出現了斷層.為了幫助學生實現思維的銜接，筆者追加一個問題.

追問：函數f（x）=（x-a2）2-a4-3的最小值是多少？是不是（-a24-3）？

通過追問，學生的思維有了落腳點.學生獨立思考，函數圖象自然得到.解決時，函數定義域為[2，3]，對稱軸為x=a2，只需要討論對稱軸x=a2與[2，3]的位置關系.

變式訓練完成后，要求學生反思，讓學生在反思解題過程中實現知識、方法的內化，數學素養得到提升.這樣做符合新課程理念，這一過程是學生的自主行為，是教師的講授無法替代的.

3.學生自主編題

學生自主編題需要一定的引導.從上述例題出發，筆者做如下提示：上述例題中函數的對稱軸和區間都是確定的，而變式的區間定、對稱軸動，根據上述情境，自己嘗試著改編成一道題目.從學生的自主編題情況來看，學生的思維具有發散性，然后要求學生進行交流匯報，促使學生有效地掌握知識和方法.學生自主編題的過程是應用知識和思考方法的過程，也是主動參與學習的重要特征.

二、幾點反思

1.習題課的設計思想應遵循新課程理念

習題課是學生應用課堂所學知識進行問題解決的課型，當問題無法解決時，學生會有緊張的感覺，特別是高考模式下，升學的壓力不容忽視，因此我們的選題，必須考慮到學生的具體實際，問題的設置要有利于調節學生的學習情感，同時又要客觀地暴露出學生解題過程和方法上的問題或閃光點，教學過程中要增加師生互動，通過課堂巡視、相互交流等形式，有效地鞏固數學知識和數學思想方法，促進三維教學目標的達成.

2.確保學生的主體地位和教師的主導作用

盡管教師必須講解，但其目的主要是給學生作示范，帶動學生思考，所以教師要做好導演，把學生的積極性充分調動起來，使學生進入角色，保證學生的主體地位，教師切忌喧賓奪主.同時，教師要面向全體學生組織教學，特別要更多地關心學困生的學習，及時給予幫助和指導.

3.注重例題資源的充分挖掘

習題課更要講究課堂教學效率，同時兼顧學生的可接受性.要注意變式處理，同時留足學生思維的時間和空間，通過變式訓練引導學生在互動中樹立生成性意識，此外，對于一道習題有時又存在多種解決問題的方法，此時注重解法的挖掘也有利于學生思維能力的提升.

總之，我們的習題教學，要讓學生感受到數學的嚴謹、抽象，切身體驗到了高中數學的趣與美，借此提升學習數學的熱情和固化學好數學的信心.

如何開展習題課教學呢？筆者以“二次函數的最值問題”教學為例談點看法.

一、教學呈現

1.問題式導入

在教學中，筆者設置了一個問題導入：要求學生在草稿紙上嘗試著畫一組二次函數的圖象，并要求學生對自己畫的圖象進行解釋，分析其特點.

評析：通過這樣的導入形式，改變了傳統的習題課一上來就要求學生做題目的弊端，讓學生自主回顧和復習二次函數的圖象和性質，很自然地切入到習題課的主題，當然學生作圖時有些還是存在困難的，在學生作圖的過程中，筆者積極巡視，發現問題并及時予以指導.

2.巧妙選題

（1）小切口熱身

在該節課教學時，筆者選擇了較低難度的例題，讓學生首先熱身.

例1①函數f（x）=x2+2x+3的最小值為多少？（定義域為R）

②函數f（x）=x2+2x+3在區間[0，10]上的最小值和最大值分別為多少？

這兩個小問題，學生較容易解決，能夠很快熱身并融入課堂研究.

（2）精選范例深化研究

教學需要一定的梯度，不能總在簡單問題上徘徊，要循序漸進，精選范例推進認知深化.

例2求函數f（x）=x2-2x-3在區間[2，3]上的最小值.

學生完成該題后，再進行變式訓練，推進思維向縱深發展.

變式：求f（x）=x2-ax-3在區間[2，3]上的最小值.

變式與例2相比有一個小小的變化，學生需要一定的思維力度.從學生的解題來看，學生容易得到f（x）=（x-a2）2-a24-3.這時，學生思維出現了斷層.為了幫助學生實現思維的銜接，筆者追加一個問題.

追問：函數f（x）=（x-a2）2-a4-3的最小值是多少？是不是（-a24-3）？

通過追問，學生的思維有了落腳點.學生獨立思考，函數圖象自然得到.解決時，函數定義域為[2，3]，對稱軸為x=a2，只需要討論對稱軸x=a2與[2，3]的位置關系.

變式訓練完成后，要求學生反思，讓學生在反思解題過程中實現知識、方法的內化，數學素養得到提升.這樣做符合新課程理念，這一過程是學生的自主行為，是教師的講授無法替代的.

3.學生自主編題

學生自主編題需要一定的引導.從上述例題出發，筆者做如下提示：上述例題中函數的對稱軸和區間都是確定的，而變式的區間定、對稱軸動，根據上述情境，自己嘗試著改編成一道題目.從學生的自主編題情況來看，學生的思維具有發散性，然后要求學生進行交流匯報，促使學生有效地掌握知識和方法.學生自主編題的過程是應用知識和思考方法的過程，也是主動參與學習的重要特征.

二、幾點反思

1.習題課的設計思想應遵循新課程理念

習題課是學生應用課堂所學知識進行問題解決的課型，當問題無法解決時，學生會有緊張的感覺，特別是高考模式下，升學的壓力不容忽視，因此我們的選題，必須考慮到學生的具體實際，問題的設置要有利于調節學生的學習情感，同時又要客觀地暴露出學生解題過程和方法上的問題或閃光點，教學過程中要增加師生互動，通過課堂巡視、相互交流等形式，有效地鞏固數學知識和數學思想方法，促進三維教學目標的達成.

2.確保學生的主體地位和教師的主導作用

盡管教師必須講解，但其目的主要是給學生作示范，帶動學生思考，所以教師要做好導演，把學生的積極性充分調動起來，使學生進入角色，保證學生的主體地位，教師切忌喧賓奪主.同時，教師要面向全體學生組織教學，特別要更多地關心學困生的學習，及時給予幫助和指導.

3.注重例題資源的充分挖掘

習題課更要講究課堂教學效率，同時兼顧學生的可接受性.要注意變式處理，同時留足學生思維的時間和空間，通過變式訓練引導學生在互動中樹立生成性意識，此外，對于一道習題有時又存在多種解決問題的方法，此時注重解法的挖掘也有利于學生思維能力的提升.

總之，我們的習題教學，要讓學生感受到數學的嚴謹、抽象，切身體驗到了高中數學的趣與美，借此提升學習數學的熱情和固化學好數學的信心.