以問題驅動化生類專業高等數學課程教學

劉春梅

（湖南科技學院 數學與計算科學系，湖南 永州 425199）

以問題驅動化生類專業高等數學課程教學

劉春梅

（湖南科技學院 數學與計算科學系，湖南 永州 425199）

問題驅動原理是大學數學課程教學所應遵循的重要教學原則之一。文章首先結合化生類專業特點，指出了以問題驅動化生類專業高等數學課程教學的意義；其次闡述了實施問題驅動教學過程的六個階段；最后給出了一個關于一元函數的極值與最值的教學實施案例。

問題驅動；高等數學；化生類專業；數學教學

引 言

數學作為一門技術學科，它為化學和生物學提供了描述現象與規律的語言與工具；反過來，化學和生物現象和規律也能夠在很多方面為數學知識理論體系的建立、健全提供原形和實踐支持。高等數學課程作為化生類專業的專業基礎課，能夠起到培養大學生計算能力、推理能力、應用數學解決和研究實際問題能力的作用。因此，在化生類專業的本科教學中，如何根據化學學科和生物學科的特點，采取適當方法進行高等數學適對性教學，就成為了化生類專業高等數學任課教師一直關注的問題。

1 以問題驅動高等數學教學相關理論和結合化生類專業教學的意義

1994年張奠宙等人在文[1]中指出了當代中國數學教育上的眾多誤區，并分析了成因，提出了要以問題驅動數學教學的新概念觀點——把數學教學用一系列的問題組織起來，在問題驅動下呈現數學。所謂問題驅動，意味著必須正面地向學生明確提出與教學內容相關的問題，讓學生在思考、解決問題過程中展現數學內容．所提出的問題通常可以進行分解成一系列小問題，同時，學生在思考問題、解決問題過程中，又會有不斷的新問題出現，從而教師又會引導學生投入到新問題的思考和解決上去。這樣把教學轉化由“問題—思考—解決—新問題—再思考—再解決”這樣一個循環的過程，直至把所有問題全部解決。因此，一個又一個的問題是推動教學進程，發揮學生主觀能動性，發展思維，進行積極創新的動力源泉。

根據化生類專業的特點，結合專業問題進行問題驅動數學教學對于培養高素質化生類人才具有十分重要的意義。

1.1 有利于發揮學生的主觀能動性

由問題驅動教學，就可以改變傳統的大學數學教學方式“定義—定理—例題—習題”，避免按照書本進行平鋪直敘和依樣畫葫蘆那樣的進行計算。能夠把平鋪直敘的教材內容這般“冰冷的美麗”的數學，還原為對數學“火熱的思考”[2]。這樣就激發了學生學習興趣，挖掘了學生學習潛力，讓學生投入更多的精力到數學的學習當中去。

1.2 有利于培養創新意識

創新來自于提出問題和解決問題。由問題驅動教學充分展現了數學的發現、創造過程，再現了數學知識的來龍去脈，同時也給學生留出了更多的思考空間，使學生在自覺、主動、深層次的參與過程中培養了創新意識。

1.3 有利于充分體現數學思想和方法

問題驅動下，學生要將一個又一個的實際問題或現象進行抽象化，用數學語言、概念和符號將其描述為數學問題；接著，運用歸納、猜測、聯想、分類、類比等方法來分析數學問題；通過學習相關數學理論，進行演繹、推理、證明、求解來解決問題，獲得數學結論、結果；最后還要將這些結論、結果進行檢驗，作用于實踐或其他相關問題。因此，問題驅動的整個過程，充分展示了學習和研究數學所用到的數學思想和方法，學生能夠在此過程中抓住數學的本質。

1.4 有利于對于化生類專業后繼課程的學習

高等數學課程是學生學習化生類專業后繼課程的基礎，在以問題為驅動的高等數學教學下，可以使學生接受良好的數學訓練，能夠迅速進入后繼課程的學習，能將問題驅動模式的學習方法帶入到這些課程的學習中去。同時，又能與數學聯系在一起，運用數學方法去解決化生類專業問題。

1.5 有利于對學生進行科學研究訓練

任何一門學科的發展都離不開問題，也只有在提出問題和解決問題兩者相互促進中不斷的前進。由問題驅動教學使學生能主動掌握科學的數學思維和方法的同時，也鍛煉學生如何能不畏艱辛、百折不撓的科學意志品質，提高了勤于思考、善于思考，善于動手解決問題的能力，具備了良好的科學素養，達到科學研究訓練的目的。

2 問題驅動教學在化生類專業高等數學課程的實施過程

問題驅動教學在實施過程中可以大致分為五個階段，即啟動教學、推進教學、實施教學、檢驗教學、完善教學階段。當然，這不僅是每堂課可以這樣劃分，每個章節，每個小問題都可以這樣來進行劃分。

2.1 設定情境，引出問題，激發學生興趣，啟動教學

美國數學家哈爾莫斯(P．R．Halmos)認為：“問題是數學的心臟”。好的問題能夠激發學生探究數學的欲望和興趣，其問題的妥善解決也能使學生從中掌握數學技巧，學習到數學思想和方法，達到對數學的高度認同。因此，課堂上，一個好的問題的提出在一定程度上決定了這堂課教學質量。在課堂教學開始后，教師首先就應當根據化生類專業特點，創設情境，提出學生感興趣的問題來。

2.2 歸納、抽象建立數學模型，推進教學

問題提出來以后，教師就應當引導學生，在相關的專業知識下對問題進行數學描述，使之完全轉化為數學問題。我們可以使用數學的概念、定理和符號，將問題進行歸納、抽象，采用函數、方程、不等式等數學表達式對問題進行數學模型化，并確定模型的目標。這種對問題的提煉，其實質就是透過現象，抓住本質，找準解決問題的切入口。

2.3 分析思考問題，講授與課程內容相關數學理論，實施教學

分析數學模型，如果發現現有的數學知識，無法解決模型問題，那么學習新的相關數學理論就理所當然的了。對于需用到的已知理論部分，教師引導學生共同復習，而對于未知的，則引導學生回歸教材，并由教師講授必要的數學理論。通常，這些數學理論應當能直接作用于解決模型上。通過這一過程，能使學生帶著解決問題的目的進行有效學習，大大地激發了他們的求知欲，并且發揮他們的主觀能動性。當然，這一階段，教師的講授可以采取教師講授和學生自我學習相結合的方式，達到教學目的，使學生儲備了解決問題的數學理論知識。

2.4 運用數學理論解決模型，

在前面的階段，教師的傳授和學生的學習已經具備了解決問題的必要理論和條件，做到了“萬事俱備，只欠東風”。在解決問題階段，教師就理應放開雙手，讓學生自己去摸索、運用數學進行判斷、求解，教師則在一旁對于出現的謬誤和混淆之處稍加點撥。通過這一過程，學生就能夠自覺的去認知體會解決問題過程中最為本原的一面，為今后的問題解決積累經驗。

2.5 應用所學解決其他問題，檢驗教學

學習數學最主要的目的是為了要去用好數學。為此，在課程教學引導學生解決某個問題后，不能認為教學就結束了，而應當要求學生能做到觸類旁通，舉一反三，解決其他的類似的問題，以達到對數學知識的理解與運用的融會貫通。例如，教師可以嘗試給出一些相類似的問題，讓學生課堂內或課后進行解決，以起到檢測學生的學習效果，鞏固知識的作用，也能讓學生在自主解決問題中培養創新精神。

2.6 進行教學總結和反思，完善教學

解決問題并不是課程教學的唯一目標，教師還應當引導學生對分析、解決問題中所遇到各種艱難險阻進行總結和反思，做的好的地方在哪，不好的地方在哪，如果再做一次的話，我會怎樣去做。通過這樣的總結和反思過程，使學生能準確找準自己的定位，為下一次解決問題提供經驗支持。善于總結、分析，特別是對失敗的反思，才是鍛煉學生思維，最終能夠解決問題重要途徑。

3 問題驅動教學在化生類專業高等數學課程的一個教學案例

為了更好的說明整個過程，我們選定以利用導數求函數極值、最值這一內容為例，來闡述問題驅動教學的實施過程。

3.1 啟動教學階段

教師在課堂中的導言中可以敘述如下事實，萃取是化生類專業實驗的一項非常基礎的操作，它是指利用物質在兩種互不相溶（或微溶）的溶劑中溶解度或分配系數的不同，使物質從一種溶劑內轉移到另外一種溶劑中。實際上，要把所需要的化合物從溶液中完全萃取出來，通常萃取一次是不夠的，必須重復萃取數次。那么，接下來問題就出現了——在萃取操作中，當萃取劑劑量一定時，如何進行操作，使得萃取效果最好？[3]

這個問題形式簡單，但由于萃取在化生類專業實驗操作中具有的重要地位，因此，該問題能緊密的與化生類專業相聯系，且該問題的解決具有很強的實用性。為了使問題更加明確，教師進而可以簡化問題為：當萃取劑劑量一定時，分別進行兩次操作，如何分配萃取劑量使得萃取效果最好？

3.2 推進教學階段

在這個階段主要就是將萃取問題進行符號化，用數學表達式給出，明確問題的數學目標是什么。引導學生做出合理假設，根據分配定律，找出萃取前、后有關化合物的數量關系，然后計算出萃取后化合物的剩余量。

設共有萃取劑 b毫升，第一次用量為b1，第二次用量為b2，設a為萃取的溶液體積，x0是被萃取物的初始濃度，x為第一次萃取后的萃液濃度，則=。

根據分配定律，知溶質A在有機相和水相中的分配的平衡嘗試之比為分配系數，即

因此，經過上面的分析，引導學生得到了這樣一個二次萃取后的萃液濃度的函數。由問題際意義，萃取效果取好，就意味著萃余液濃度最小，即討論函數y在b1取何值時取最小值。通過這樣一個抽象過程，將問題轉化為求一元函數最小值問題。

3.3 實施階段

為能夠解決轉化后的數學問題，這就要求了必須進行相關數學理論的傳授。此時，學生的學習興趣已經被調動起來，因此，教師要做的工作主要是講授和引導學生學習函數極值、最值 的相關理論，明確極值、最值的概念，極值的必要條件和極值的兩個充分條件和最值的存在性和求解過程。經過這個階段后，學生做好了有關求一元函數的最值問題的相關知識儲備。

3.4 解決階段

在解決問題這一階段，相對來說就比較簡單。學生只需應用剛剛學會的利用導數計算一元函數最值的理論求解即可，其過程如下。

這表明分兩次操作，萃取劑等分情況下，萃取效果最好。

3.5 檢驗階段

在教學過程中，教師需要清楚明確地知道學生的學習效果，同時，學生也希望能夠對自己新學的方法和理論進行實踐。此時，教師可以提出一些新的問題，供學生進行深入研究，以檢驗學習效果。如，教師可以將先前所提的問題進行推廣，得到問題：假設萃取分三次，如何用量萃取效果？如果分為n次呢？進而還可以提出問題，分n次和分n+1次，哪種情況會萃取效果更好？這樣不但為學生提供了思考的空間，同時也更加加深了學生對優化萃取問題的理解。

3.6 總結階段

總結和反思是問題驅動教學中必不可少的，只有進行了總結和反思，才能使學生在今后學習中進行自我探究過程中少走彎路，進而積累豐富的經驗，培養解決問題的直覺，也能使學生充分意識到數學作為工具學科的實用性，領會到數學的實質，更能讓學生主動投身于數學學習中去。

有一點還需說明的是，問題在整個過程中是不斷產生的，并不單單只有求解萃取優問題一個的。事實上，在講極值的必要條件時，會產生為什么函數在一階可導且取到極值時，則該點的一階導數必須為0這一問題。極值點一階導在圖像上具有何種形態等等一系列問題。由于篇幅所限，我們只從主體結構出發，就不再深入到每個細節上去討論了。

4 結束語

以問題驅動教學是實現大學數學教學的基本原理之一，能夠在教學中體現創新精神和發揮學生的學習主動性。結合化生類專業特點，以專業實際問題驅動高等數學課程適對性教學，不但能使化生類專業大學生的數學素質得到大幅提升，同時也為他們的化學科研素質和創新精神的培養起到積極推進作用。

[1]張奠宙,張蔭南.新概念:用問題驅動的數學教學[J].高等數學研究,2004,7(3):8-10.

[2]張奠宙,柴俊.關于大學數學教學的一些基本原理[J].高等數學研究,2012,15(3):37-38,41.

[3]上海師范大學數學系,中山大學數學系力學系,上海師范學院數學系.高等數學(化、生、地類專業）[M].北京:高等教育出版社,1978.

O13

A

1673-2219（2014）05-0019-03

2014－01－09

湖南省普通高校教學改革研究項目（湘教通[2011]315號）；湖南科技學院教學改革研究項目（湘科院教字[2013]6號）。

劉春梅（1981－），女，山西五臺人，湖南科技學院數學與計算科學系，講師，博士，研究方向為偏微分方程數值解和數學教學。

(責任編校：何俊華)