亞指數索賠額下帶隨機收益的非齊泊松風險模型的破產概率

張耀東

(重慶理工大學數理統計學院，重慶 400054)

亞指數索賠額下帶隨機收益的非齊泊松風險模型的破產概率

張耀東

(重慶理工大學數理統計學院，重慶 400054)

研究了非齊次泊松風險模型和帶隨機收益的更新風險模型中的有限時間的破產概率。當初始資本趨近于無窮大，在索賠額服從亞指數分布時的假設下，得到了一個有限時間的漸近公式。主要在江濤2009年論文的基礎上，把正交變換子族的結論推廣到亞指數族的情形，并得到了一些結果。

隨機收益;非齊泊松;亞指數;有限時間破產

1 模型的建立

1.1 基本模型

有一個由攝動引起的簡單的更新風險模型，在這個模型中索賠額{Xn，n=1，2，…}是由一組獨立同分布(i.i.d)的隨機序列且是非負的隨機變量，由共同的分布(d.f.)F=1-F與索賠到達的時間δn，n=1，2，…組成的一個更新計數過程 N(t)=max{n≥1：δn≤t}，t＞0。

它有常數的強度λ，習慣上記max{φ}=0。帶渉動項δ0W0(t)的保險公司在時間t時的總盈余為U(t)，它滿足方程

其中：u＞0為保險公司的初始盈余;c為常數收取的保費。{B0(t)，t≥0}為標準布朗運動，如果索賠時間的間隔 δ1，δ2- δ1，…，δn- δn-1，n=2，3，…有共同的分布，那么該模型稱作 C-L 模型。

在C-L模型中，若參數λ是時間的函數，那么{N(t)，t≥0}稱作非齊的泊松過程，其中風險強度函數為{λ(t)，t≥0}。如果對任意的 t有 s＞0，則 N(t)滿足

其中，GΛ是Λ的分布函數，那么{N(t)，t≥0}稱作條件泊松過程。

在本文中如無特殊說明，所有的極限關系均為u→∞，A～B和A?B分別表示為=1和≥1。

1.2 隨機收益

許多人都在研究更新風險模型和重尾索賠下的更新風險模型，還有一些學者在風險模型中考慮了風險投資。如果保險人將資本投資到風險市場，就會產生風險資產，為了簡單起見，假設資本價值可以看作一個特殊的幾何布朗運動，即

其中：{B(t)，t≥0}是一個標準布朗運動;μ，δ分別稱作期望收益率和波動擴散系數且滿足μ≥0，δ≥0。眾所周知，上式有下面的解：

因此，在時間t內，投資達到風險市場的盈余可表示為

這個模型與上文提到的由渉動引起的簡單的更新風險模型的主要區別在于：這里將帶有渉動的隨機利率考慮進去了。因此，將第1個盈余表達式代入到第2個盈余表達式中得到一個新的模型。

2 相關結果

重尾子族在保險和金融風險中起著重要的作用，可以用來描述大的索賠額。下面給出幾個非常重要的重尾子族。

長尾子族L：分布函數F屬于L，當且僅當

對任何t成立，等價于對t=1成立。

一個分布族屬于正交變換族R-α，當且僅當x)=x-αL(x)，當 x→∞時，L(x)為長尾變化函數。

亞指數族S：分布函數F屬于S，當且僅當

對任何的n成立，等價于對n=2成立，其中Fn*(x)代表F的n重卷積，這些長尾子族滿足如下的包含關系：

最終破產概率的漸近行為在風險理論中起著重要的作用。1982年Embrechts和Veraverbeke建立了一個非常著名的漸近關系，當索賠額的分布為亞指數分布時，最終破產的概率滿足

江濤在文獻［5］和［6］中獲得了一些推廣的結果。本文應用江濤在2009年論文中提到的方法，得到了一些新的結論。

3 幾個引理

下面的引理1來自Ross寫的隨機過程。

引理 1{N(T)}t≥0為 Poisson 過程，{δk，k≥1}為到達的時間，在 N(T)=n 的條件下，對任何 T ＞0，隨機向量(δ1，δ2，…，δn) 的分布與隨機向量(TU(1，n)…TU(n，n)) 的分布相同，其中(U(1，n，)，…，U(n，n)) 為(0，1)上獨立同分布的順序統計量，它們與隨機向量U1，…，Un具有一致的分布［5］。

引理2對于更新風險模型，如果F∈L∩D，那么有限時間T破產概率滿足［1］

引理3令{Xi，1≤i≤n)}是獨立同分布的亞指數族，有共同的分布F。那么0＜a≤b＜∞，對所有的 a≤ci≤b，1≤i≤n，有［1，7］

引理4對于更新風險模型，如果F∈L∩D，那么有限時間T破產概率滿足［1］

引理5如果B(t)是標準布朗運動，那么B(t)的任意階矩存在［7］。

4 主要定理

定理1考慮參數為{λ(t)，t≥0}的非齊泊松模型，且假設資本價值滿足下面的隨機攝動

那么，到時刻t的盈余為

如果索賠額的分布F∈S，那么

證明盈余表達式可變形為

成立，其中

由Ross［6］可知，N(t)是強度為λ(t)的非齊泊松過程，可以看作強度為λ的齊次泊松過程，其中λ(s)≤λ。N(t)對應的事件Ai發生，相當于在時間δi以概率λ(δi)/λ發生。

上面的等價式用到了引理3中亞指數索賠額的概率與求和可交換性，及更新函數m(t)=Fi(s)。

另一方面，

類似地，

評論1 這個結果與江濤在文獻［1］中假設F∈R-α得到的結論

有些類似，而在亞指數族時并不會有F(x)=x-αL(x)這樣的性質。

定理2考慮條件泊松過程，即對任意的t，s＞0，N(t)滿足

其中Λ以GΛ為分布函數(d.f.)，其他條件同定理1，如果F∈S，那么

證明應用條件概率公式

評論2 這個結果是江濤在文獻［1］中假設F∈R-α得到

結果的推廣。

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Ruin Probability for Subexponential Claimed Sizes Non-homogeneous Possion Risk Model with Stochastic Returns

ZHANG Yao-dong
(1.School of Mathematic，Chongqing University of Technology，Chongqing 400054，China)

We studied the ruin probability with stochastic returns for non-homogeneous Poisson risk model and subexponential claimed size in renewal risk model.An asymptotic formula for the ruin probability was divided when initial surplus approaches infinity and the claimed sizes obey subexponential distribution.Based on the conclusions of paper of Jiang Tao 2009［1］for the orthogonal transformation subfamily，we extend to the case of the subexponent，and get some results.

stochastic returns;non-homogeneous Poisson;subexponential;finite-time ruin

O211.9

A

1674-8425(2014)10-0137-06

10.3969/j.issn.1674-8425(z).2014.10.026

2013-12-26

重慶市教委科技項目(KJI120805)

張耀東，男，碩士研究生，主要從事數理統計研究。

張耀東.亞指數索賠額下帶隨機收益的非齊泊松風險模型的破產概率［J］.重慶理工大學學報：自然科學版，2014(10)：137-142.

format：ZHANG Yao-dong.Ruin Probability for Subexponential Claimed Sizes Non-homogeneous Possion Risk Model with Stochastic Returns［J］.Journal of Chongqing University of Technology：Natural Science，2014(10)：137-142.

(責任編輯 劉 舸)