基于氣隙磁通邊緣效應的軸向混合磁軸承承載力解析計算

張云鵬， 薛博文， 劉淑琴， 李紅偉

(1.山東大學電氣工程學院，山東濟南250061;2.山東大學電網智能化調度與控制教育部重點實驗室，山東濟南250061)

0 引言

磁懸浮軸承又簡稱為磁軸承，是利用定轉子之間的磁力相互作用，支承轉子懸浮于空間的一種機電裝置。因具有無機械磨損、噪音小、壽命長、無需潤滑等優點，廣泛適用于高速、真空、超潔凈和核電等應用場合［1－2］。近年來，在人工心臟、飛輪儲能、航天航空等特殊領域，對磁軸承的體積、重量和功率損耗都提出了苛刻要求，因此低功耗和微型化是磁懸浮軸承研究與發展的重要方向［3－5］。

磁懸浮系統中轉子除了軸向轉動由電機控制外，其余空間五個自由度由磁懸浮系統控制。傳統的磁懸浮轉子系統由兩組徑向主動磁軸承和一組軸向主動磁軸承組成，每組主動磁軸承都配合各個自由度上的位移傳感器、控制器和功率放大器等器件，難以實現微型化和低功耗。減少主動控制自由度，簡化磁懸浮硬件系統，是實現磁軸承系統的微型化和低功耗主要途徑。四自由度和三自由度等多自由度主動控制的磁軸承系統，已被廣泛研究和實際應用［6－7］。單自由度軸向混合磁軸承系統將主動控制自由度降到最低，最大限度降低了功耗和簡化系統結構，近年來引起了廣泛的關注［8－9］。

在單自由度磁軸承實現五自由度懸浮系統中，軸向磁軸承氣隙處的磁通同時提供徑向承載力和軸向承載力，關鍵問題是求解徑向和軸向承載力與磁軸承結構參數之間的解析模型。文獻［10－11］基于磁路分析法對軸向永磁軸承徑向磁力進行了研究，得出徑向磁力的解析表達式。文獻［12］通過磁路分析，用虛位移法求解軸向混合磁軸承的徑向承載力，并對徑向承載力與結構參數之間的關系進行分析，但模型中沒有計及氣隙磁通的邊緣效應。利用氣隙磁通的邊緣效應對電磁機構進行磁路分析，已應用于帶氣隙的繼電器、開關磁阻電機等［13－14］。文獻［14］利用氣隙磁通的邊緣效應分析了傾斜磁極結構的徑向磁軸承的承載力，發現邊緣磁通對于磁軸承多自由懸浮具有關鍵作用，但未對軸向磁軸承系統做出分析。

本文在分析軸向混合磁軸承磁路以及氣隙磁通的空間分布的基礎上，對包括邊緣磁通在內的各部分磁導進行數學建模，用虛位移法分別得出了軸向混合磁軸承的軸向承載力和徑向承載力解析數學模型，分析了軸向力和徑向力與軸向氣隙和徑向位移之間的關系，并分析軸向力與徑向力的耦合特性，并得到兩者之間的內在聯系，并通過有限元仿真對結果進行了驗證，為單自由度主動控制磁懸浮系統中軸向混合磁軸承的設計提供了一定的理論指導。

1 單自由度軸向混合磁懸浮結構及工作原理

軸向單自由度磁軸承實現五自由度懸浮系統結構由兩側的定子部分和中間的轉子部分組成，兩側成對稱分布，具體結構如圖1所示。圖中陰影部分為軸向磁化的永磁體，產生永磁偏置磁通。永磁磁路經過永磁體、定子鐵心、氣隙、轉子鐵心形成永磁磁通回路。電磁線圈置于定子鐵心中，通電后通過定轉子鐵心和永磁體，形成電磁磁通回路，磁路總磁通為永磁磁通和電磁磁通的疊加，永磁與電磁磁通疊加，通過氣隙磁場，提供轉子所需軸向和徑向懸浮力。

圖1 軸向混合磁軸承實現轉子五自由度懸浮結構Fig.1 Five DOF suspension system supported by axial HMB

該系統軸向主動懸浮的工作原理與傳統磁單自由度懸浮系統原理相同，通過位移傳感器檢測轉子相對于參考位置的軸向偏移(z方向)，控制器通過功率放大器控制兩側磁軸承中的電流，從而控制兩側氣隙處的磁通，產生軸向恢復力，使轉子在軸向保持主動的穩定懸浮［1－2］。

除了軸向平動和沿軸向轉動兩個自由度外，其余四個自由度由氣隙處磁力的實現被動懸浮。當轉子在徑向(x或y方向)有微小位移時，由于氣隙處磁通邊緣效應，會產生與軸向有一定夾角，磁力的徑向分力，方向與徑向位移方向相反，指向軸心，將使轉子回到徑向平衡位置，從而保持轉子的徑向被動懸浮。當轉子沿x軸或者y軸有微小轉動時，轉子兩端的磁力的徑向分力會形成一個恢復力矩，使轉子回到平衡位置，從而使轉子在沿x，y軸的轉動自由度實現被動懸浮。因此，兩端磁軸承的徑向分力是實現被動懸浮的關鍵，本文將重點分析氣隙處的磁通分布與徑向力的解析表達。

2 磁路模型與承載力分析

2.1 考慮氣隙磁通邊緣效應的磁路模型與氣隙磁導計算

當轉子無徑向位移時，兩側氣隙處磁通與磁場的空間分布均為軸對稱分布，因此磁軸承與轉子之間只存在軸向力，徑向力為零。當轉子發生徑向位移時，氣隙處的磁通量與磁場分布不再是軸對稱，利用分割磁場法，將氣隙中的整個磁場分割為不同區域的磁通管G1－G8，圖中G1，G2為磁極重疊部分，磁力線仍與軸向平行;G3與G4部分串聯，代表中心磁極與側面之間的磁導，G5與G6串聯，G7與G8串聯代表了外側磁極表面與外側磁極內外側面之間的磁導。利用各部分磁導之間的串并聯關系，建立對應的磁路模型，如圖2所示。

圖2 氣隙磁場的空間分布及磁路模型Fig.2 Distribution of magnetic field in axial HMB and magnetic circuit model

G1～G8各部分磁導的具體表達式［15］為

內側磁極氣隙的磁導Gi為

外側磁極氣隙的磁導Go為

根據圖2中磁路的各部分磁導串并聯關系得到磁路的總磁導Ga為

2.2 軸向力與徑向力的解析表達

按照電磁場理論，氣隙處磁場能表達式為

Fm為氣隙處磁壓降，在氣隙磁場能對軸向位移g和徑向位移e求偏導時，假設內外磁極氣隙處的磁壓降Fmi和Fmo保持不變。根據虛位移法，可以得到軸向磁軸承的軸向與徑向承載力。軸向承載力為

磁極間徑向承載力為

根據式(13)，式(14)，可得磁軸承的軸向剛度與徑向剛度為

根據式(15)和式(16)，當氣隙處磁壓降不變時，軸向自有剛度為負值，因此必須依靠控制器實時控制電磁線圈中的電流，改變兩側氣隙處的磁壓降Fmi和Fmo實現轉子的軸向主動懸浮。徑向剛度始終為正，即混合磁軸承的徑向力指向平衡位置，因此可以實現徑向的被動懸浮。

2.3 承載力與軸向氣隙和徑向位移關系分析

根據式(17)，軸向磁軸承的軸向力除了與氣隙磁壓降有關，是結構參數R1－R3、軸向氣隙g和徑向位移e的復雜函數，而磁軸承一旦設計加工完成，運行過程中只有軸向氣隙g和徑向位移e變化，因此主要研究軸向力和徑向力隨軸向氣隙和徑向位移的變化關系。由解析表達式可知，軸向力隨軸向氣隙g的增大而減小，當磁軸承轉子沒有徑向位移，即e=0時，軸向力的表達式為

可知，軸向力與軸向氣隙g的平方成反比，與文獻結果一致［2］。

當磁軸承轉子發生徑向位移，即e≠0時，設磁極厚度為 t，對于內磁極 ti=R1，對于外磁極 to=R3－R2，根據式(13)，定義軸向力因子 Az為

內外磁極的軸向力表達式可以簡化為

研究軸向力與軸向氣隙g與徑向位移e的關系時，只要考慮軸向力因子Az與g和e的關系。以設計的磁懸浮人工心臟泵用軸向混合磁軸承為例，圖3為軸向力因子Az與軸向氣隙g與徑向位移e的關系，由圖可見，軸向力因子Az隨著軸向氣隙g增大而迅速減小，這是由于軸向氣隙g增大導致氣隙磁阻增大，氣隙處的磁通密度減小所導致。當徑向位移e的增大時，Az隨之而減小，近似成線性關系，這是由于徑向位移使定轉子磁極發生錯位，磁極的正對面積減小，氣隙邊緣處磁場分布不再為軸向，產生徑向分量，因此軸向力減小。同時由圖可知，軸向力主要受軸向氣隙g影響，隨徑向位移e變化不明顯。

圖3 軸向力因子Az隨軸向氣隙與徑向位移的變化關系Fig.3 Axial force factor Azdependence on axial gap and radial displacement

根據式(18)，徑向力除了與氣隙磁壓降和結構參數有關外，與軸向氣隙g和徑向位移e的關系可以用徑向力因子Ar表示為

則徑向力可表示為

圖4為Ar與軸向氣隙g與徑向位移e的關系圖，徑向力隨著軸向氣隙g的增大而快速減小，隨著徑向位移e的增大而增大。

圖4 徑向力因子Ar隨軸向氣隙與徑向位移的變化關系Fig.4 Radial force factor Ardependence on axial gap and radial displacement

圖5 徑向力因子Ar隨徑向位移的變化關系Fig.5 Radial force factor Ardependence on radial displacement

圖5 為不同軸向氣隙時，徑向力因子隨徑向位移的變化關系，由圖可見，徑向力隨著徑向位移增加而先增加，然后趨于飽和，由式(14)知飽和值為

上式可作為混合磁軸承徑向被動懸浮的設計的最大徑向承載力。

2.4 徑向力與軸向之間的耦合特性

在單自由度磁懸浮系統中，軸向兩端磁軸承同時提供軸向力和徑向力。當轉子軸向偏移平衡位置時，通過控制兩側磁軸承中的控制電流，改變兩側的氣隙中的磁通密度，實現軸向的主動懸浮。軸向混合磁軸承在控制軸向力的同時，改變了磁軸承對轉子的徑向力，影響徑向的被動懸浮剛度，因此必須研究徑向力與軸向力之間的耦合特性，才能夠同時實現軸向主動懸浮和徑向被動懸浮，實現軸向磁軸承軸向和徑向的解耦控制。

由式(13)，式(14)可知，內外側磁極的徑向力與軸向力之比等于徑向力因子與軸向力因子之比，定義為徑向/軸向力系數X為

圖6所示為徑向/軸向力系數X隨軸向氣隙和徑向位移的變化關系圖。由圖可知，X隨軸向氣隙g增大而增大，同時隨徑向位移e的增大也增大。具體變化情況如圖7所示，徑向/軸向力系數隨徑向位移的增大，斜率變小，說明增大趨勢變緩，在徑向小位移時，可以通過提高兩側軸向力而提高徑向力，但在徑向位移較大時，效果不明顯。軸向氣隙g增大時，前面分析得到軸向力和徑向力均減小，由徑向/軸向力系數的變化可知，軸向力比徑向力減小的更快。

圖6 徑向/軸向力系數X隨軸向氣隙與徑向位移的變化關系Fig.6 Radial to axial force ratio factor X dependence on axial gap and radial displacement

圖7 徑向/軸向力系數X隨徑向位移的變化關系Fig.7 Radial to axial force ratio factor X dependence on radial displacement

3 仿真分析與結果

利用電磁場有限元仿真軟件，建立軸向混合磁軸承模型，對軸向混合磁軸承的徑向力和軸向力有限元仿真，并與理論結果進行對照。為了研究磁通邊緣效應對計算結果的影響，對未考慮邊緣效應時軸向混合磁軸承的徑向力和軸向力也進行了計算。

3.1 軸向承載力

圖8為當磁軸承發生軸向位移時，磁軸承軸向力與軸向氣隙g之間的關系圖，可以看到考慮邊緣磁通前后，軸向承載力計算結果一致。這主要是由于磁極間主要為軸向磁通，邊緣磁通相對磁極間主磁通可以忽略。同時仿真值小于理論計算值，是由于忽略鐵心及永磁體的磁阻，導致理論計算的磁路總磁導偏大所致。

圖8 軸向力隨軸向氣隙的變化關系Fig.8 Axial force dependence on axial gap

3.2 徑向承載力

磁軸承的徑向承載力隨徑向位移的變化關系如圖9所示，在不計入邊緣效應的磁路模型中，當e=g/2時，徑向承載力達到最大值，與仿真值出現了較大偏差，主要是因為未考慮邊緣磁通的磁路模型過于簡單，不能夠反映氣隙磁場的復雜空間分布;計入邊緣效應后，徑向承載力隨徑向位移增大而增大，與仿真結果符合較好，說明了在研究軸向混合磁軸承徑向承載力時，必須考慮氣隙磁通的邊緣效應。徑向力與徑向位移的近似線性關系也為徑向被動懸浮的調節提供了理論基礎。

圖9 徑向力隨徑向位移的變化關系Fig.9 Radial force dependence on radial displacement

3.3 模型的局限性

在分析氣隙磁通的邊緣效應時，圖2中所示的G1，G2，G3，G5，G7部分磁通為軸向磁通，G4，G6，G8為磁極側面的漏磁通，同時忽略了內外磁極之間的磁導，在徑向位移e遠小于磁極厚度的時候，以上氣隙磁通的空間分布模型成立。當徑向位移大于磁極厚度時，以上的解析結果不再適用。在實際應用中，磁軸承的最大可移動范圍(小于1 mm)遠小于磁極的徑向厚度，因此解析式(13)～式(16)可以用于磁軸承實際設計的需要。

4 結語

通過基于氣隙磁通邊緣效應的磁路模型，利用虛位移法推導了軸向磁軸承的軸向力和徑向力的解析表達。結果表明，軸向力隨軸向氣隙增加而迅速減小，隨徑向位移增大而近似線性減小。徑向力隨軸向氣隙增加而迅速減小，隨徑向位移增大而先增大，后趨于飽和。通過分析軸向力與徑向力的耦合特性發現，徑向/軸向力系數隨徑向位移的增大，斜率變小，說明徑向力增大趨勢變緩，在徑向小位移時，可以通過提高兩側軸向力而提高徑向力，但在徑向位移較大時，效果不明顯。軸向氣隙增大時，軸向力比徑向力減小的更快。以上分析磁懸浮系統軸向和徑向的解耦控制提供了理論依據。利用有限元方法對軸向力和徑向力進行仿真計算，計入氣隙邊緣磁通的磁路模型結果與仿真結果符合較好，說明考慮氣隙磁通邊緣效應是必要的。

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