IFOC感應電動機分岔混沌的單雙時滯反饋控制

王東東， 陸益民， 張波

(1.華南理工大學電力學院，廣東廣州510641;2.廣西大學電氣工程學院，廣西南寧530004)

0 引言

基于間接磁場定向控制(indirect field－oriented control，IFOC)的感應電動機系統由于動態性能優越而在實際中廣為應用，然而因轉子電氣時間常數估計誤差的存在，使系統容易產生不規則振蕩現象，嚴重影響了IFOC感應電動機系統的運行性能。文獻［1－2］研究了IFOC感應電動機系統的Hopf分岔及其在不同PI調節器參數情況下的分岔特性，從定量分析的角度對感應電動機的Hopf分岔條件進行了理論推導，獲得Hopf分岔的解析表達式。文獻［3－4］通過對感應電動機系統進行動力學分析，得到了系統產生混沌振蕩的參數范圍。

自1990年混沌控制的思想提出以來，混沌控制的研究逐漸成為熱門的研究領域，其中時滯反饋控制簡單可操作，只需加入適當的延遲即可實現混沌振蕩的有效控制。Michiels等人分析了時滯反饋系統的穩定性，并利用時滯反饋對Lorenz系統進行混沌控制［5］。文獻［6］中，利用單時滯反饋對IFOC感應電動機系統進行Hopf分岔振蕩的抑制［6］。文獻［7］中對幾種變時滯反饋控制進行穩定性分析，推導出穩定性條件［7］。文獻［8］中研究了IFOC感應電動機中的混沌現象，采用0－1混沌判別法對混沌區域進行量化［8］。文獻［9］中研究討論了IFOC感應電動機系統的混沌同步控制［9］。文獻［10］中利用龐加萊截面等技術分析了IFOC感應電動機系統中的混沌現象并進行了實驗驗證，證實在實際的感應電機系統中混沌振蕩的存在性［10］。在IFOC感應電動機系統中，由于轉子電氣時間常數估計不準確從而導致系統在輕載或空載時原有PI控制器失效，使系統失去穩定性而產生混沌現象。本文首先對IFOC感應電動機系統進行分岔分析，由分岔圖獲取其動力學特性從而得知，系統可以經由倍周期分岔進入混沌態，并產生不規則振蕩。為抑制這種振蕩，通過在IFOC感應電動機系統中加入時滯控制項從而實現對感應電動機系統的混沌抑制，使系統能夠穩定運行，同時分析了延遲控制作用下系統的分岔行為，從分岔圖和最大李雅普努夫指數中給出合適的控制器參數的選擇范圍。

1 IFOC感應電動機分岔混沌行為

假定感應電動機系統由電流逆變器供電，控制量為電流，則系統在同步旋轉坐標系上的狀態方程為［1－2］

其中:δ=npLm/Lr;ψrd，ψrq和 ωr分別為轉子d、q 軸磁鏈和電氣角速度;isd、isq為定子d、q軸電流;Tr=Lr/Rr為轉子電氣時間常數;Lr為轉子自感;Rr為轉子電阻;np為極對數;ωe=－ωr轉子轉速與給定值的誤差。上標“*”表示相應變量的給定值。Lm為定轉子互感;TL為負載轉矩;J為電機轉子和聯接負載的轉動慣量;D為粘滯摩擦系數。根據文獻［3－4，10］可知在IFOC感應電動機系統中的粘滯摩擦系數數值通常較小，為單獨研究轉子電氣時間常數對感應電動機系統穩定新的影響，文中粘滯摩擦系數均取為0。

系統(1)的平衡點為［2］

其中，γ由方程(3)確定，即

其中

電磁轉矩Te=TL+D/np。由式(2)可以看出系統平衡點第三個分量為0。根據文獻［3－4］，感應電動機系統參數取為:Lm=69 mH;Lr=71 mH;J==np/Tr。系統分岔圖如圖1所示，從圖1(a)中可以看出當取負載TL為分岔參數時，隨著負載TL數值的不斷增加，轉子直軸磁場由周期1→周期2，…，混沌，即歷經倍周期分岔進入混沌態，并經歷若干個周期窗口，最后由倒分岔退出混沌并進入穩態，從分岔圖中可以較為清晰地觀察到IFOC感應電動機系統的周期數，即轉子直軸磁場時間響應的周期數目。當np=1，負載TL取不同數值時，感應電動機系統在相圖上的周期數表現為1，2，4，如圖2所示。圖3為感應電動機系統的典型混沌吸引子。圖4為np=1，2時的最大李雅普諾夫指數圖，它與分岔圖中的混沌區域相對應。

圖1 ψrd的分岔圖Fig.1 Bifurcation diagram of ψrd

圖2 np=1時的相軌跡Fig.2 Phase trajectories for np=1

圖4 最大李雅普諾夫指數Fig.4 Largest Lyapunov exponent

2 分岔混沌的時滯反饋抑制

假定有一非線性混沌系統

將系統(5)在平衡點x*=(x1，x2，…，xn)處進行線性化，則系統變為

在其中加入時滯控制項

那么，系統變為

其中，τ(t)=τ0+εf(Ωt)，f:R →［－1，1］是一個周期2π 的函數，ε ＜ τ0，取一可積函數 w:［－1，1］→ R+由下式定義

對于每一個連續函數都有α:［－1，1］→ R。

如果有系統

是漸進穩定的，那么，系統(7)是全局一致漸進穩定的。它的特征方程為

其中，

假定系統(8)的最右特征值是簡單的且在虛軸上，且記為 jωi，i=1，m。如果

那么，當ε值較小時，系統(8)是漸進穩定的［4］。文中，將延遲時間取為常數，即取ε=0。

當IFOC感應電動機系統產生混沌振蕩時，將時滯反饋項式(7)(單時滯)加入系統(1)狀態方程的第四項，則得時滯狀態方程為

當kτ=10，TL=0.35 N·m時，感應電動機系統隨τ變化的分岔圖如圖5所示。

在系統進入混沌態第10 s加入時滯控制項，系統時間響應如圖6，控制器參數可由分岔圖穩態區域中選取。由圖6可見混沌現象消失，暫態時間如表1所示。

表1 暫態性能Table 1 Transient performance

對于雙時滯情形，即將時滯反饋項加入狀態方程第三、第四項，可得

圖5 單時滯反饋系統分岔圖Fig.5 Bifurcation diagram of the single time-delayed feedback

圖6 單時滯反饋時間響應Fig.6 Time response of the single time-delayed feedback

為研究延遲反饋作用下反饋參數改變時IFOC感應電動機系統的動力學特性。當kτ=10，TL=0.35 N·m時，繪制感應電動機系統隨延遲時間τ變化的分岔圖如圖7所示，從圖中可以看出延遲控制項的增加使分岔圖中穩態區域對應的范圍略大，反應了延遲控制項數目對延遲反饋控制作用的變化趨勢，即雙時滯控制使系統更易穩定。

圖7 雙時滯反饋系統分岔圖Fig.7 Bifurcation diagram of the double time-delayed feedback

在系統進入混沌態第10 s加入時滯控制項，系統時間響應如圖8，暫態時間如表1所示，混沌振蕩隨控制項的引入而消失，系統進入平衡狀態。由單時滯和雙時滯的分岔圖及時間響應圖可以看出，雙時滯穩定參數范圍略大，且過渡過程變短，具有更快的響應速度。

圖8 雙時滯反饋時間響應Fig.8 Time response of the double time-delayed feedback

4 結論

間接磁場定向感應電動機在轉子電氣時間常數的估計值出現誤差時，將可能引起閉環系統失去穩定性，導致原有PI控制器失效，從而產生不規則振蕩現象，利用分岔圖該系統進行分岔分析，可知系統在不同負載參數下可由倍周期分岔的途徑進入混沌態，使得感應電動機系統失去穩定性進而產生振蕩現象。因此，本文利用簡單的時滯反饋控制對這種混沌振蕩進行抑制，采用分岔圖分析延遲反饋控制項對感應電動機系統的影響，表明不同極對數情況下，延遲時間增大時系統的動力學現象，并從中選取合適的控制參數以抑制混沌振蕩的出現，數值仿真結果證明這種方法是有效的。同時，文中對單時滯和雙時滯的控制效果進行量化對比，可知單時滯反饋即可使系統由混沌振蕩進入穩態，極對數取不同數值時IFOC感應電動機系統仍然能夠進入穩態，若加入更強的雙時滯反饋控制項將使得系統的暫態時間變短，控制性能更加優越，從而為實際應用中感應電動機系統不規則振蕩的抑制提供理論基礎。

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