高中數(shù)學(xué)與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的問題

高美

指數(shù)函數(shù)作為基本函數(shù)，一直是近幾年高考的重點和熱點，也是新課標(biāo)考查的重要方面。主要題型有：指數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)、冪值的比較大小、由指數(shù)函數(shù)復(fù)合而成的綜合問題。本文通過一些例題的講解，得到較系統(tǒng)的指數(shù)函數(shù)知識，以加深對指數(shù)函數(shù)的認(rèn)識。

一、指數(shù)函數(shù)的概念

問題1：在定義中為什么規(guī)定a>0且a≠1？

分析：若a=1，則y=1，它是一個常函數(shù)；若a=0，只有x>0有意義，且y=ax=0 也是常函數(shù)，無研究的意義；若 a<0，當(dāng)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的分母是偶數(shù)時無意義，例如（-2）■是沒有意義的。

例1：若函數(shù)y=（2a2-3a+2）ax是指數(shù)函數(shù)，求f（2）。【解】2a2-3a+2=1？圯a=1或■，但 a=1不合定義，舍去，∴ a=■？圯f（2）=（■）2=■.

二、比較大小問題

問題2：底數(shù)對指數(shù)函數(shù)圖像有什么影響？

例2：如圖是指數(shù)函數(shù)①y=ax、②y=bx、③y=cx、④y=dx的圖像，則a、b、c、d與1的大小關(guān)系是（ ）：A.a

c、C.1d1>a1>b1，故c>d>a>b，故答案選B.

三、指數(shù)函數(shù)與二次函數(shù)復(fù)合求值域

例3：求函數(shù)y=（■）x-（■）x+1，X？綴[-3，2]的值域。 【解析】令 （■）x=t，則y=t2-t+1，∵X？綴[-3，2]，∴■= （■）2？蕎（■）x？蕎（■）-3=8，即t？綴[■，8]，∴y=（t-■）2 +■？綴[■，57]. 總結(jié)：此類問題是指數(shù)函數(shù)和二次函數(shù)復(fù)合形式，把表面是指數(shù)函數(shù)形式的利用換元思想轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求值域。在做題時要注意指數(shù)函數(shù)的值域，即二次函數(shù)的自變量的范圍，從而利用配方法求出其值域。

四、指數(shù)函數(shù)復(fù)合形式的單調(diào)性

例4：求函數(shù)y=2■的單調(diào)區(qū)間。 【解析】令x2+x=t，則y=2t，在R上為增函數(shù)，要求y的單調(diào)遞增區(qū)間就是t的單調(diào)遞增區(qū)間，即[-■，+∞]；y的單調(diào)遞減區(qū)間就是t的單調(diào)遞減區(qū)間，即[-∞，-■]. 總結(jié)：此類問題屬于復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的問題，解決這類問題把握四個字：“同增異減”。所以，首先要看清楚復(fù)合的兩個簡單函數(shù)，一般有一個的單調(diào)性是已知的。此問題解決的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為另一類簡單函數(shù)的單調(diào)性，但要注意的是，在解題前要先求復(fù)合函數(shù)的定義域。

由此可見，對于一般的指數(shù)函數(shù)中有關(guān)定義域、值域以及單調(diào)性問題，我們能夠比較熟練地解決。但往往指數(shù)函數(shù)不是單獨出現(xiàn)的，它總是和其他函數(shù)同時出現(xiàn)，特別是二次函數(shù)。在這里，我強調(diào)一點：做任何題，不管是簡單的還是復(fù)雜的，關(guān)鍵是抓住其基本性質(zhì)，盡量把問題轉(zhuǎn)化到我們熟悉的情況下進(jìn)行解決。