基于系統思維下的課堂教學再塑——“探索三角形相似的條件”教學設計的重組與反思

☉江蘇省連云港市海州實驗中學 楊曉彬

☉江蘇省連云港市海州實驗中學 王 磊

基于系統思維下的課堂教學再塑
——“探索三角形相似的條件”教學設計的重組與反思

☉江蘇省連云港市海州實驗中學 楊曉彬

☉江蘇省連云港市海州實驗中學 王 磊

《義務教育課程標準（2011年版）》指出：“教材中學習素材的選擇，圖片、情景、實例與活動欄目等的設置，拓展內容的編寫，以及其他課程資源的利用，都應當與所安排的數學內容有實質性聯系，有利于提高學生對數學實質的理解，有利于提高學生對所學內容的興趣.”教材是最基本、最重要的課程資源，合理整合教學內容是提高課堂效率的有效途徑.但教材不可能承載課程的全部內容，教師要有對課程資源進行有效整合的意識，是“用教材教”，而不是“教教材”，能夠駕馭教材，根據不同的學情，改變教學內容的呈現方式和順序.

下面以蘇科版八年級下冊第十章第4節《探索三角形相似的條件》為例，分享筆者的收獲.

一、案例呈現

（一）背景分析

《探索三角形相似的條件》是在學習了相似圖形及相似三角形的概念等知識后，研究如何探索三角形相似的條件，是判定三角形相似的起始課，既是對前面知識的延伸，也是對后續學習的鋪墊.之前，學生已經學過相似三角形的概念，知道全等三角形是相似三角形的特殊情況等知識，在七年級也經歷了全等三角形判定的探究過程，積累了一定的數學活動經驗，較為熟練地掌握了三角形全等的判定方法，并能進行一些簡單的說理，具備一定的探究能力.綜上，教師對教材進行了如下整合：第一課時通過與三角形全等條件的類比，探究出三角形相似的條件；第二課時對這三個條件進行邏輯推理；第三課時應用判定條件進行證明.這樣，把四課時的內容創新地整合為三課時.教材內容經過這樣的整合后，一方面能帶領學生系統地掌握三角形相似的判定條件，做到整體感知，另一方面能系統地理解全等與相似的本質聯系，教材被用活了.

（二）教學目標

（1）探索三角形相似的條件，了解三角形相似的條件與三角形全等的條件之間的關系.

（2）經歷“操作——觀察——猜想”的學習過程，積累數學活動經驗，發展合情推理的能力.

（三）教學重、難點

（1）重點：類比三角形全等的判定方法，得到三角形相似的判定方法.

（2）難點：將邊相等的關系轉化為對應邊成比例的關系.

（四）教學方法

啟發研討，互動探究

（五）教學過程設計

1.創設情境，復習引入

請同學們回顧一下三角形相似的定義.

學生1：三個角對應相等、三條邊對應成比例的兩個三角形叫做相似三角形.

教師：你能回憶出三角形全等的定義嗎？

學生1：三個角對應相等，三條邊對應相等的兩個三角形叫做全等三角形.

教師：我們是用這個定義來判定三角形全等嗎？

學生1：不是，我們是用SSS、SAS、ASA、AAS來判定的.

學生2：還有HL.

學生1：HL定理是直角三角形才有的.

教師：通過對全等判定條件的學習，我們知道可以用逐步減少條件的方法來探究，請思考：判定三角形相似是否也能用類似的方法呢？

教師：大家為什么那么肯定？

學生3：全等是相似的特殊情況，相似需要的條件應該更少.

教師：它特殊在哪里？

學生3：相似比為1，相似中包含全等.

教師：你能類比三角形全等的條件，猜想三角形相似的條件嗎？

學生3（自信的）：AA、SA、SS、AS.

教師：他的猜想對嗎？

目前采取的治理措施雖收到一定成效，但是，治理過程中仍然存在一些問題與困境。無法滿足現階段環湖生態環境保護的需求，無法平衡各方的利益。

（多數學生面帶困惑，教師稍作停頓）

教師：下面我們就開始探索三角形相似的條件.（板書課題）

設計意圖：教師在引入新課時，為學生設置了熟悉的問題情境，引導學生從三角形全等的條件猜想三角形相似的條件，激發了學生的學習熱情，喚起學生對新知識的探究欲望，自然地引出課題，進而發展學生的數學應用意識和探究能力.

2.探索交流，汲取新知

（1）三邊對應相等的兩個三角形全等，類似地，三邊對應成比例的兩個三角形相似嗎？如圖1中的兩個三角形相似嗎？說說你的想法.

引導學生以相似三角形的定義為依據，經歷“量一量、算一算”的過程，得出滿足“三邊對應成比例”、“兩邊對應成比例且夾角相等”的兩個三角形相似.在此環節中，教師應放開讓各小組充分討論，一方面有個別學生可能在作圖上存在困難，可以讓學生在課堂上通過相互幫助完成學習任務，另一方面小組成員之間也有了更多自我調節和交流的機會.討論結束后，由教師指定幾個小組分別展示他們得到的幾種判定方法，由學生說說分別符合什么條件的三角形是相似的.

雖然小組內每位同學畫圖的數據可能各不相同，但當他們看到全班同學所畫的圖形都相似的時候，那種認同感對培養學生的自信心是有很大幫助的.在此環節中將穿插教師的精講點撥，同時用幾何畫板演示以達到更好的直觀效果.

（3）你還能寫出判定兩個三角形相似的條件嗎？說說你的想法.

由前面的討論可知，三角形全等的判定和相似的判定條件之間存在如下關系：

學生容易發現，由全等判定轉化為相似判定，僅僅需要把“邊相等”改為“邊對應成比例”，而“角相等”這個條件不變.他們自然想到，對于全等判定“ASA”、“AAS”該怎么轉化呢？從而提出問題：“兩角對應相等且一邊對應成比例”對嗎？學生在具體畫圖中就會發現，一邊是無法“成比例”的，教師借此突破難點，既然一組對應邊無法成比例，那么僅僅“兩角對應相等”能否說明兩個三角形相似呢？

借助實物投影儀，師生共同歸納出：兩角對應相等的兩個三角形相似.

設計意圖：本環節的目的在于引導學生從三角形全等的條件猜想三角形相似的條件，但這個問題學生討論起來可能太寬泛，為了給其明確的導向，設計了三個層次的小問題.第一個層次是明確給出兩個三角形，同時給出三邊的具體數值，讓學生通過度量三個角的度數，由定義得出“三邊對應成比例的兩個三角形相似”.第二個層次是給出一個三角形，并給出此三角形的兩邊長及其夾角的度數，讓學生自己畫出另一個滿足“兩邊對應成比例且夾角相等”的三角形，通過度量邊和角，得出滿足此條件的三角形也是相似的.第三個層次是完全放開讓學生探究其他的幾種情況，逐步歸納出“兩角對應相等的兩個三角形相似”.

3.應用遷移，鞏固提高

（1）如圖3-①～圖3-③中的各對三角形是否相似？為什么？

設計意圖：得出相似三角形的幾種判定后，配以簡單的幾道題讓學生鞏固練習，夯實所學知識.

4.你說我說，清點收獲

對比三角形全等的條件，你是如何得到三角形相似的條件的？

設計意圖：通過小結，對本節課探究的內容進行再提煉，一是明確相似與全等判定的區別僅僅是“對應邊相等”變成了“對應邊對應成比例”，“對應角相等”的條件不變，這與相似與全等的定義區別是吻合的；二是要求學生對得到的判定定理語言再整理，能夠有條理地、清晰地闡述.

二、三點斬獲

（一）轉換視角，培養學生的主動意識

偉大的數學家畢達哥拉斯曾經說過：“在數學的天地里，重要的不是我們知道什么，而是我們怎么知道什么.”數學知識是相互聯系的，只有明確了知識從哪里來，到哪里去，是怎樣去的，才有可能準確把握其中的核心數學思考.這就意味著，分析具體內容中的知識形成過程，需要著眼于系統的角度，從數學學科框架延伸到中學數學框架，進而觸及到章節單元框架系統，分析知識的形成過程.如果只從“教教材”的角度分析本節課的教學內容，就容易忽視相似和全等的關系.例如，本節課首先學生能夠主動地類比三角形全等的判定來探究三角形相似的判定，形成了一個完整的知識體系，這種類比將不僅僅反映在學生對相似判定的學習上，在后面判定的應用上，學生也會不自覺地類比全等判定的應用，對于學生來說，相似已經不是一個獨立的新知識，只是全等的一個延續.其次，這節課學生探究出了三個判定，即“三邊對應成比例的兩個三角形相似”，“兩邊對應成比例且夾角相等的兩個三角形相似”，“兩角對應相等的兩個三角形相似”這三個判定學生都是通過“量一量”，“算一算”得到的，發展了合情推理與有條理的表達能力.

（二）靈光閃現，激發學生的創新意識

康托爾說過：“數學的本質在于它的自由.”自由的觀察角度，自由的思維方式，自由的推理過程，這也是數學吸引學生的魅力駐足點.學生思維的閃動成為本節課的亮點，一段段精彩的陳述讓聽課的老師們都感到無比的驚喜.比如，在探究“三邊對應成比例的兩個三角形相似”時，教師問：“除了導學案上的圖，你還能想到哪些圖形可以說明此定理呢？”這時有同學想到所有的等邊三角形都是相似的.更讓人驚訝的是，有一個學生竟然想到用放大鏡放大一個畫在紙上的三角形，得到的影像和原三角形是相似的.再比如在探究“兩邊對應成比例且夾角相等的兩個三角形相似”時，有一個小組利用中位線的知識，對相似比為1的情形給出了理論證明.通過對教材的整合，學生親身經歷了觀察、操作、猜想、交流等活動過程，既克服了數學學習的枯燥性，又讓學生感受到數學知識的學習是一個連續的過程，學習數學是一件有趣的事.可見，在平時的教學中，對于課本中的概念、公式、定理等，教師不能只滿足于結論的證明和應用，而應鼓勵學生以探索者的姿態出現.

（三）打破常規，構建道法自然的生態課堂

《新課標（2011年版）》指出：“課程內容要反映社會的需要、數學的特點，要符合學生的認知規律.”課后與學生談心時，學生說：“老師是在幫助我們建立知識之間的聯系，讓我們知道這些問題是屬于哪一類的，哪些是可以用同樣的思路來分析解決的.”在數學思考上，學生是新手，他們往往在思考的過程中缺乏方向感和有序性，容易受制于直觀、感性、模仿而理性不足，缺乏全局觀點而顧此失彼.而教材中有些探究的編排限制了學生探究性思維的發展，易于形成依賴性思維，使得探究活動流于形式，不利于學生構建知識框架，這就需要教師進行教材的整合.從整體上把握學科本質、把握學科知識和能力體系，知道學生已有什么，要知道什么，能不能做到.在實施的過程中，可能會產生哪些困難，如何解決這些困難.

正如奧蘇貝爾所說：“假如讓我把全部的教育心理學僅僅歸結為一條原理的話，那么我將一言以蔽之：影響學習的唯一最重要因素就是學生已經知道了什么，要探明這一點，并因此教學.”現階段，我國公民的文化程度越來越高，很多學生課前都已經做好了預習工作，如繼續循規蹈矩，按部就班的上課，難免會給學生的學習帶來疲勞感，而利用系統思維重塑教學內容，能給學生新鮮的學習體驗，是提高學習興趣、提高教學效果的有效途徑.

1.吳增生.在知識形成過程中追求高階目標的達成［J］.中學數學教學參考（中），2013（7）.

2.孫道斌.將猜想滲透在日常教學中［J］.中學數學教學參考（中），2013（7）.

3.楊裕前，董林偉.數學綜合與實踐活動［M］.南京：江蘇科學技術出版社，2011.

4.章建躍.數學要為學生謀取長期利益［J］.中學數學教學參考（中），2012（7）.

5.中華人民共和國教育部制定.義務教育數學課程標準（2011年版）［M］.北京：北京師范大學出版社，2012.

6.王磊.系統思維在農村中學的應用［J］.中小學數學，2012（1）.FH