基于數(shù)學(xué)期望的決策模型

黑龍江 張春紅 王家宇 田 宇

數(shù)學(xué)模型是針對(duì)現(xiàn)實(shí)世界的某一特定現(xiàn)象，為了一個(gè)特定的目的，根據(jù)特有的內(nèi)在規(guī)律，作出必要的簡(jiǎn)化和假設(shè)，運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具，采用形式化語(yǔ)言，概括或近似地描述出來(lái)的一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。數(shù)學(xué)期望簡(jiǎn)稱期望，又稱均值，是隨機(jī)變量最基本的特征之一，是反映隨機(jī)變量總體取值平均水平的一個(gè)重要數(shù)字特征。基于數(shù)學(xué)期望這一數(shù)學(xué)工具建立的各種決策模型，在實(shí)際中有著廣泛的重要應(yīng)用，為決策者做出最優(yōu)決策提供重要的理論依據(jù)。

一、數(shù)學(xué)期望的基本知識(shí)

定義1（離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期）：設(shè)離散型隨機(jī)變量的分布律為

P｛X=xK｝=Pkk=1、2、3…

若級(jí)數(shù)

定義3（方差和標(biāo)準(zhǔn)差）：若隨機(jī)變量X2的數(shù)學(xué)期望E(X2)存在，則稱偏差平方(X-E(X))2的數(shù)學(xué)期望E[X-E(X)]2為隨機(jī)變量(或相應(yīng)分布)的方差，記為：

二、以數(shù)學(xué)期望為基礎(chǔ)建立的各種決策模型

1.最優(yōu)存儲(chǔ)決策

已知一商家在一展銷活動(dòng)期間供應(yīng)一種商品，正常進(jìn)價(jià)50元/件，售價(jià)56元/件，若銷售勢(shì)頭良好，很快銷售一空，需緊急從其他渠道調(diào)貨，調(diào)貨價(jià)格52元/件，若貨物供應(yīng)量過(guò)大，活動(dòng)結(jié)束后造成貨物積壓，每件需在現(xiàn)有價(jià)格上降價(jià)10元出售。已知該商品的需求量X服從[2000-6000]上的均勻分布，商家應(yīng)該準(zhǔn)備多少貨源才能獲得最佳收益？

因?yàn)樾枨罅縓服從[2000-6000]上的均勻分布，故需求量X的概率密度函數(shù)為

不妨設(shè)存儲(chǔ)量為y，則2000≤y≤6000

儲(chǔ)量為y時(shí)利潤(rùn)為

期望利潤(rùn)為

取近似值y≈2700（件）

即儲(chǔ)存量大約是2700件時(shí)，期望利潤(rùn)最大且最大期望利潤(rùn)為

從上述的計(jì)算可知由于一旦造成商品積壓，將有損失，所以不是進(jìn)貨越多利潤(rùn)越大。

2.商業(yè)營(yíng)銷決策

作為一種營(yíng)銷策略，廠家經(jīng)常推出一些有獎(jiǎng)銷售活動(dòng)，以擴(kuò)大銷售量，現(xiàn)有一兒童食品生產(chǎn)廠家欲采用將印有各種圖案的小卡片作為贈(zèng)券放入每一包裝袋中，集齊一套有獎(jiǎng)作為促銷模式。這里假設(shè)每套張且裝有各種不同類型的卡片的袋子出廠時(shí)是均勻混合的。為了使該方案可行，廠家事先必須推算出顧客搜集齊這些卡片的難易程度，即平均需買多少袋能集齊，然后才能決定設(shè)置的獎(jiǎng)項(xiàng)應(yīng)該多大。

實(shí)際上，該問(wèn)題與下列問(wèn)題同屬一個(gè)模型，即：

有一個(gè)盒子裝有標(biāo)號(hào)為1-n的n張不同卡片，每次獨(dú)立的從盒子中取一張，看后放回，并記錄取出卡片的標(biāo)號(hào)，問(wèn)題是平均需抽多少次才能抽齊這張不同的卡片。

引入隨機(jī)變量Xk(k=1,2,3,…,i…):表示已經(jīng)取得k-1張不同花色的卡片后為獲得第k張卡片所需的抽檢次數(shù)，若設(shè)每次抽取成功率為Pk，則易得Xk服從參數(shù)為Pk的幾何分布，且相互獨(dú)立。

下求 E(Xk)(k=1,2,3,…,i…)

只需先求Xk的分布列

設(shè)A={收集到第k張卡片}則

故P(Xk=1)=P(A)=Pk

P(Xk=2P(A)=(1-Pk)Pk

即取得第k張型卡片所需的平均抽取次數(shù)為

故取到n張不同卡片的平均次數(shù)

建立了數(shù)學(xué)模型后我們可知

當(dāng)n=10時(shí) E(X)=10In10=23.03≈23

當(dāng)n=15時(shí) E(X)=15In15=40.62≈41

當(dāng)n=20時(shí) E(X)=20In20=59.91≈60

當(dāng)n=30時(shí) E(X)=30In30=102

當(dāng)n=50時(shí) E(X)=50In50=195.6≈196

當(dāng)n=100時(shí) E(X)=100In100=460.51≈461

當(dāng)n=200時(shí) E(X)=200In200=1059.67≈1060

由此可知，期望次數(shù)隨著n的增大而快速增加，即使廠家沒(méi)有故意讓某些卡片少一些。但只要n足夠大，要收集到整套的卡片還是相當(dāng)困難的。比如，廠家若設(shè)置水滸108將作為一整套卡片，為集齊該套卡片顧客需平均購(gòu)買大約

E(X)=108In108=505.67≈500（袋）

食品。依據(jù)該數(shù)學(xué)模型的計(jì)算結(jié)果廠家制定營(yíng)銷計(jì)劃，對(duì)后期的營(yíng)銷成果做到心中有數(shù)。

3.經(jīng)濟(jì)方案決策

在商業(yè)活動(dòng)中偷稅漏稅可非法獲益，造成國(guó)家財(cái)政損失。國(guó)家為了防止稅收流失,通常對(duì)偷稅者除補(bǔ)交稅款外還要處以偷稅額n倍的罰款。統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)，偷漏稅者被查出的概率為0.2。這時(shí)罰款額度n至少多大才能起到懲罰作用，讓我們?yōu)闆Q策者提供決策依據(jù)。

引入隨機(jī)變量X，X表示偷稅時(shí)商家的收益數(shù)，x為假設(shè)偷稅額，則X的數(shù)學(xué)期望為

E(X)=0.8x-0.2x-0.2nx

=0.2x(3-n)

要使處罰行之有效，必須使逃稅者無(wú)利可圖，即平均收益E(X)＜0

由上式知3-n＜0

故n>3

也就是說(shuō)一旦查出有偷稅行為，執(zhí)法者至少要對(duì)偷稅者處以3倍以上的罰款，才能起到防止偷稅漏稅現(xiàn)象發(fā)生的作用。

4.項(xiàng)目投資決策

現(xiàn)有一企業(yè)擬投資兩個(gè)項(xiàng)目，分別生產(chǎn)甲產(chǎn)品與乙產(chǎn)品，其收益與市場(chǎng)狀態(tài)相關(guān)。若把該項(xiàng)目生產(chǎn)的產(chǎn)品未來(lái)市場(chǎng)銷售形勢(shì)列為好、中、差3個(gè)等級(jí)，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查研究發(fā)現(xiàn)其發(fā)生概率均分別為0.3、0.5、0.2，但相應(yīng)收益不同。詳見(jiàn)下表：

根據(jù)這些信息該企業(yè)投資哪一個(gè)項(xiàng)目好呢？

我們先考慮一下平均收益，即其數(shù)學(xué)期望值：

從平均收益上看，生產(chǎn)甲產(chǎn)品比生產(chǎn)乙產(chǎn)品要多贏利15萬(wàn)元。

我們知道方差、標(biāo)準(zhǔn)差越大，收益的波動(dòng)就越大，從而風(fēng)險(xiǎn)越大。因此，在已知該項(xiàng)目的數(shù)學(xué)期望后還應(yīng)考察其方差、標(biāo)準(zhǔn)差這些指標(biāo)才能進(jìn)行進(jìn)一步的評(píng)估。

從方差標(biāo)準(zhǔn)差來(lái)看，生產(chǎn)乙產(chǎn)品減少風(fēng)險(xiǎn)約32%，但收入相應(yīng)減少15萬(wàn)。

這類問(wèn)題是根據(jù)期望利潤(rùn)最大的原則進(jìn)行決策，是建立在風(fēng)險(xiǎn)中性的基礎(chǔ)上，也是風(fēng)險(xiǎn)決策的前提。如果有兩個(gè)方案都能使期望收益達(dá)到最大，那么就應(yīng)該比較收益的方差（風(fēng)險(xiǎn)），風(fēng)險(xiǎn)較小較優(yōu)。所以，在風(fēng)險(xiǎn)投資決策中，應(yīng)綜合考慮收益的期望和方差，將超額收益（超過(guò)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益的部分）作為承擔(dān)風(fēng)險(xiǎn)的補(bǔ)償。選擇最優(yōu)方案才是最合理的，這是我們?yōu)闆Q策者提供的決策理論依據(jù)。

[1]張少華.數(shù)學(xué)期望在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中的應(yīng)用[J].安徽農(nóng)業(yè)科學(xué)，2011（8）.

[2]黃旭玲.利用隨機(jī)變量的和式分解計(jì)算數(shù)學(xué)期望[J].玉林師范學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué))，2003(4).

[3]盛驟，等.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)[M].北京：高等教育出版社，2001，12.

[4]王鳳英，等.數(shù)學(xué)期望在經(jīng)濟(jì)決策中的應(yīng)用[J].商場(chǎng)現(xiàn)代化，2009，（2）.