解決問題的策略——轉化在小學數學總復習中的應用

張迎雪

作為六年級畢業前的總復習，所涉及到的內容是小學所學習到的12冊的內容，而總復習時間緊迫這是現實，我們不可能把以前學過的那么多的內容和知識點一一呈現，而且知識相當凌亂。我認為總復習最重要的目標便是在學生的頭腦中形成一個系統，幾條“繩”，拽出一條“繩”便出來一系列的知識點和內容，讓學生對六年所學習的數學知識在頭腦中進行系統化的梳理。如果按照以前的復習方式，我們要拿出幾節課的時間來分別復習面積知識、體積知識、計算以及分數應用題，而且僅僅是就知識復習知識，學生不能得到應有的提高，這樣的復習沒有多大的價值。出于這樣的考慮，又受到平面圖形的面積這一部分的啟發，在復習這部分知識時充分運用了轉化這種思想，把新知識轉化成以前學過的知識，從而解決新的問題。

其實在我們的數學學習中，轉化是一種最為常見的策略，不僅僅平面圖形的面積中用到，在體積中也涉及到，比如求圓柱圓錐的體積。在計算中比如乘除轉化，分數小數轉化，可以使計算簡便。在分數百分數解決問題中告訴我們一個條件，我們可以轉化成不同的理解方式，從而得到不同的解題思路。而且在本節課中，讓學生知道有轉化這種解題策略不是最重要的，最終目的是提煉出一些具體的轉化方法，比如切割、平移、旋轉、聚零為整、拆分、以實代虛——不會出現學生看到題目知道要去轉化，卻不知道怎么轉化。

想到這里不禁覺得驚喜，就轉化這一種解題策略，居然可以把數學中的平面圖形的面積，立體圖形的體積，計算以及解決問題這幾個領域串聯在一起，一起進行復習。可想而知，原來需要用幾個課時進行復習的內容放在一個課時，由轉化這一條線拉出來，而且還可以對某些題目進行思維的拔高，解決一些擴展題目。

出于這樣的考慮，設計本案例如下：

【教學描述】

一、課前引入轉化策略

通過愛因斯坦的名言“想象力比知識更重要，因為知識是有限的，想象力卻概括著世界上的一切”引入：

聯想力作為想象力的一種，在生活中經常用到，比如:

1.看到一個蘋果，你會想到什么？

2.告訴你姚明，你會想到什么？

3.由甲是乙的2/3，你會想到什么？

評析：課前通過這樣輕松愉快的思維訓練，引出本節課的主要思想方法——轉化，激起學生的學習興趣，并對本節課有所期待。

二、復習面積、體積、計算方面的知識

1.出示圖形：

（1）仔細觀察，哪幅圖形的面積大？

學生匯報方法和結論。

（2）在變化過程中使用了哪些具體的操作方法？（切割，平移，旋轉）

通過切割、平移、旋轉，我們把兩個不規則圖形變成了長方形，使一個復雜問題變得簡單。同學們在不知不覺中就使用了一種非常重要的解決問題的策略——轉化。

1.轉化在我們以往的數學學習中經常用到，而且用它解決過許多問題，回想一下，哪兒用到過？怎么用的？

（1）面積方面：把平行四邊形通過切割平移轉化成長方形，把圓轉化成近似的長方形，運用了剪拼法。

（2）體積方面：把圓柱轉化成長方體。

（3）計算方面：分數除法轉化成分數乘法；異分母分數加減法轉化成同分母分數加減法；小數乘法先按整數乘法計算，再確定小數點。

解決這些題目的共同點都是把當時未知轉化成已知，只是具體的轉化方法不盡相同。

評析：從使用轉化最為突出的平面圖形的面積入手，具體復習怎么運用轉化得到不同的平面圖形面積的計算方法，對具體的操作方法和計算公式進行復習。并利用小組合作學習的方式回憶在整個數學學習中哪里還用到過，從而對體積方面的計算公式和計算方面的計算法則進行了復習。

三、練習中提煉出具體的轉化方法，體會轉化的策略

1.用分數表示涂色部分：

圖中涂色部分分別占整個圖形的幾分之幾？

第三副圖，學生遇到困難。學生可自由討論，得到方法把三角形旋轉180度，得1/4。

2.怎樣知道涂色部分面積的和是多少？

三角形內角和是180度，扇形半徑相等，所以涂色部分可以拼成一個半圓。課件演示，要求涂色部分面積和就可以轉化成求半圓的面積。

解決這樣分散的問題可以轉化成一個整體，這種方法叫什么呢？（聚零為整）

這個可以么？具備聚零為整的條件么？

四邊形內角和為360度，扇形半徑相等，可以拼成一個圓，求圓的面積就可以。

3.在計算中也常常將數據轉化來解決問題。

（1）19.99÷5/2-0.4×9.99。小結：把除法轉化成乘法，出現了相同的數，可以使用乘法分配律。

（2）22×43+19×66，這個能不能也轉化出相同的數呢？

學生出現不同的方法：11×2×43+19×6×11，22×43+19×3×22。比較兩種方法，顯然第2種比較簡單，提出轉化需要技巧。

（3）1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+1/64+……+1/1024，這么復雜的問題怎么解決？

提議：先解決簡單的：1/2+1/4+1/8+1/16，如果能從中發現規律，就可以運用規律來解決復雜的問題。學生自己想辦法解決。

匯報：1/2+1/4=3/4，1/2+1/4+1/8=7/8，1/2+1/4+1/8+1/16=15/16。

拆分法：1-1/2+1/2-1/4+1/4-1/8+1/8-1/16。

畫線段圖解決（數形結合）。

課件演示：

轉化成1-1/16。

如果再加到1/32，想想該怎么繼續往下畫，怎么求？1-1/32。

再加多少？1/64，怎么求？

能解決1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+1/64+…+1/1024=？

評析：轉化在計算中的應用，除了基礎的，多數體現在簡便計算中，上邊的幾個計算題，層層提高。對于部分學生來說也許開始沒有思路，但聽到別人的解答方法便很容易理解，在這轉化起了很大的作用。

4.轉化技巧也常常運用到應用題的分析推算中。

（1）等底等高的圓柱和圓錐，它們的體積之差是8立方厘米，圓柱和圓錐的體積分別是多少？

匯報：3x-x=8

x-1/3x=8

8÷(1-1/3)

8÷(3-1)

（2）有兩枝蠟燭，當第一支燃去4/5,第二枝燃去2/3時，它們剩下的部分一樣長，這兩枝蠟燭原來長度的比是多少？

學生合作完成：一×1/5=二×1/3

都等于1，則一是5，二是3，一：二=5：3

方法：以實代虛，把等積式轉化成比例式。

評析：讓學生單獨去想轉化在哪里用到過，學生很難想到在解決問題中也有，所以在前邊的小組學習中，學生不會提出來。因此，這里由老師出示題目讓學生看到，原來我們在解決這些問題的時候，很自然地也使用了轉化這種方法，不僅可以解決問題還可以多種方法來解決。

5.拓展

求涂色部分的面積。

【教學反思】

1.教學生一種思想方法勝于知識本身，這將是學生一生的財富。我認為這是一節思想方法課，所以著重于學生思想的滲透和方法的訓練。這節課中涉及到的面積、計算和解決問題等各個領域，在我們課本中處于零散知識，根據轉化這個方法把這些內容貫穿在一起，使學生在頭腦中有了明晰的認識，可以運用轉化來解決這樣的問題。作為這些知識系統的復習，要讓學生自己自主地去復習，所以在課上并不需要老師花費太多的時間去具體講解，只要讓學生把方法提煉出來就可以。本節課以轉化作為一個思想，以各種具體的方法作為操作手段，盡量做到一題一得。目的在于讓學生知道遇到問題我可以去轉化，但是具體怎么轉化，讓學生得到一些摸得著的方法，可以去試試移移、轉轉還是怎么樣。其實不光學習是如此，人們在生活、工作中也會遇到許多的問題，同樣可以運用轉化這種策略來予以解決。

2.要想讓學生愛上數學，我們的設計就要激發起學生的興趣，讓他們有要去征服的欲望。我感覺對于本節課，首先是激起了學生的學習興趣。課上的好多問題都是學習比較困難的學生來回答的，他們都敢于去思考發言，我想這是他們對于內容是感興趣的。練習層次分明，對于大部分題來說我覺得不是特別困難，是大部分學生可以伸伸手就能夠到的。個別題目也許是有些拔高，部分學生可能沒有思路，但聽到其他學生的匯報他們也能明白為什么這樣做，對他們來說也是收獲。再就是既然以方法貫穿始終，那比如最后一個拓展題，也許沒上這節課之前他們遇到會無從下手，但學習了這些方法以后，他們就會想著要去轉化，去移，去補，可能只是一個小小的進步，但也能有所得。在本節課中不僅僅讓學生知道了轉化這種解題策略，而且還知道了許多具體的轉化方法，比如切割、平移、旋轉、聚零為整、拆分、以實代虛等。

3.典型題目牽引出的具體方法。選擇練習題目，真的需要精選。關于轉化的這些題目，我們也是再三地取舍、更改，選擇有代表性的、有價值的真的并不是太容易。但我們復習時間有限，要想效率高，那就需要精講精煉，所以選擇練習題特別是復習階段的練習題需要我們多動腦筋。我感覺在我們學習數學的整個階段，轉化這種方法是貫穿始終的。它的主旨不就是化繁為簡、化新為舊么？我們遇到的數學問題不都要這樣解決么？所以對于一些解決問題的策略，什么轉化、代換……我感覺都是相通的，沒有什么明顯的界限。