利用投影法選取重積分的上、下限

郭 新

(濮陽職業技術學院數學與信息工程系，河南濮陽，457000)

在計算二重積分和三重積分這樣的重積分時，一般都是先將它們化成相應的累次積分。在化的過程中，往往要用到投影法確定積分的上、下限，然后再運用定積分的計算方法來計算。

一、二重積分上、下限的選取

即

從中可以看到，二重積分的上、下限實際上是定積分的上、下限與被積函數f(x，y)。

二、三重積分上、下限的選取

在直角坐標系下對三重積分進行計算，在將三重積分化為累次積分時，可以使用坐標面投影法和坐標軸投影法，具體方法的使用還要看實際問題的情況，適合哪個方法就用哪個方法。

(一)坐標面投影法

如圖1，閉區域Ω={((x,y,z)|z1(x,y)

圖1 坐標面投影法

過任意點(x,y)作一條平行于Z軸且垂直穿過閉區域Ω的直線，該直線與區域Ω的邊界至多有兩個交點z1(x,y)和z2(x,y)。這種區域類型稱為XY型空間區域。

計算方法如下：

(1)將x,y當作常量，那么三元函數f(x,y,z)就變成只關于變量z的一元函數。由定積分的積分法可得

(2)把Ω投影在xoy平面上，得到平面區域D，結合二重積分和積分法可得

D={((x,y)|a

(3)化三重積分為累次積分為

同理我們可以得到yz型和xz型空間區域及它們的算法。

(二)坐標軸投影法

如圖2，閉區域Ω={((x,y,z)|e

圖2 坐標軸投影法

具體方法如下：

把積分區域Ω投影到坐標軸Z，得到投影區間z∈[e,f]，取?z∈[e,f]，作平行于xoy面且過點(0,0,z)的平面，得到它們的截面，則三重積分可化為

再在平面區域D上，對變量x,y進行二重積分的計算，得到

從而得到

例：求平面x+y+z=1與三坐標面所圍成的四面體的體積。

解：由題意知，四面體在xy平面上的投影是直線x=0，y=0,x+y=1，所圍成的三角形平面區域D，則

投影法是數學思想方法中的化歸思想在積分學中的直接運用，也是微元分析法的本質規律在公式化方法中的彰顯。它不僅易于接受和掌握，而且可以拓展到極坐標系、柱面坐標系、球面坐標系下使用。

[1] 程紅萍，鐘忠鑾.高等數學：第三版[M].上海：同濟大學出版社，2012.

[2] 劉玉璉.數學分析講義[M].北京：高等教育出版社，2003.

[3] 常瑞玲.利用投影法選取積分的上、下限[J].濮陽職業技術學院學報，2008(1).