含零元的同余自由正則半群的一個注記

羅肖強

（四川文理學(xué)院數(shù)學(xué)與財經(jīng)學(xué)院，四川達州 635000）

含零元的同余自由正則半群的一個注記

羅肖強

（四川文理學(xué)院數(shù)學(xué)與財經(jīng)學(xué)院，四川達州 635000）

設(shè)S是一正則半群為正則半群S上的冪等元集。通過建立S上的幾種集合關(guān)系，得到了判斷含零元同余自由正則半群的新方法。

正則半群;冪等元集;析取集;同余自由正則半群

在文獻〔1〕中J.M.Howie給出了同余自由半群的概念：設(shè)半群S有一真理想I，Rees商是S的一真同態(tài)象。若S上只有1S（相等關(guān)系）和S×S（全關(guān)系），且S是單的或零單的，則S是同余自由半群。若半群S是有限的，S一定是完全單的或完全零單的。至于在無限半群里的情況，Munn（1972-1974）做了這方面的論述。現(xiàn)在問題的關(guān)鍵是半群S含有零元與不含零元是否也構(gòu)成同余自由半群，對于這個問題Howei通過矩陣半群已經(jīng)做了很好的研究。一些構(gòu)造特殊的同余自由半群的研究情況怎樣呢?Munn在文獻〔2〕和Trotter在文獻〔3〕中得到了S是同余自由逆半群的充要條件S是單的或者零單的基本逆半群;Bailes在文獻〔4〕中證明了同余自由純整半群既是同余自由逆半群，也是階為2的左（或右）零半群；華南師范大學(xué)的汪立民教授在文獻〔5〕中研究了帶有Q逆變換的同余自由正則半群。鑒于以上研究，在本文里，設(shè)E()S為正則半群S上的冪等元集，在E()S中建立如下關(guān)系：，得到了E(S)是析取的，從而獲得了判斷同余自由正則半群的新方法。

1 準(zhǔn)備

引理1設(shè)E(S)是正則半群S的冪等元集，則對任意，存在使得

證明：（2）半序關(guān)系顯然，只證后一結(jié)論。設(shè)任意，則h∈E(S)。由h∈E(S)知he=h。同樣由≤Rf得到 fh=h，而h=he=fhe∈fSe，于是

反之，設(shè)任意 h∈fSe∩E(S )，則h∈E(S )，若，則有等式，從而h∈M(e ,f)。于是。

引理2設(shè)ρ是正則半群S上的同余，eρf,e,f∈E(S)則

證明：（1）由于,則efρe,又因為g∈S(e ,f)，所以 g=geρgf，從而得到故

引理3 設(shè)ρ是正則半群S上的同余，對于任意e,f∈E(S)，

證明：（1）若(eρ) R( fρ)，則有。又因為，因此有，而則gρe。

（2）與（1）的證法類似。

引理4 設(shè)ρ是正則半群S上的同余，且ρ不是冪等元分離同余，則S一定存在冪等元e,f，使得eρf,e≤f,eRf,eLf。

證明見參考文獻〔7〕。由此我們可得如下推論。

推論5 設(shè)正則半群S含有零元。若 peq=0, pfq≠0,對任意e,f,p,q∈E(S)，h∈S(p,f),k∈S(f,q)，則 S(h,fk) ek=0，heS(hf,k)=0，0?S(h,fk) fk， 0?hfS(hf,k)。

為了后面行文方便，這里我們做如下的記法，任意e,f∈E(S)，若記為e≤f。若e≤f，且，記為eΩf。

引理6 若冪等元集E(S)是析取的，E(S)必須滿足對任意e,f∈E()S，e≠f使得eΩf，eRf,eLf，存在0≠g∈E()S，其中有

（1）若eΩf，則 fg=g,geg=0;

（2）若eRf，則gf=g,geg=0;

（3）若eLf，則 fg=g，geg=0。

證明：見參考文獻〔8〕。

2 結(jié)論

定理7 設(shè)正則半群S含有零元，ρ是S上的同余，那么冪等元集E(S)是析取的充要條件是且 ρ是冪等元分離同余。

證明:首先注意，對于任意c,d∈S1，有ced=0, e∈E(S)有的逆元反之亦成立。因此 ρ是冪等元分離同余的充要條件是對于任意存在 p,q∈E(S)，使得 peq=0, pfq=0，這兩個等式恰好成立。現(xiàn)在假設(shè) ρ是冪等元分離同余的，若eRf,或eΩf，那么ef=e。由推論5，若g∈S(h f,k)，其中，則。由于g∈S(h f,k)，那么同樣地，若eLf,或，取g∈S(h ,fk)，可以得到 fg=g,geg=0。

另外，假設(shè) peq≠0,pfq=0，對于eRf,或eLf,結(jié)論也成立，證明只需交換e,f，此時不必考慮eΩf;若只考慮 eΩf，取 g ∈S(h,ek)，，其中 h ∈S( p,e), k ∈S(e,q), eg=g,gek≠0,gfk=0。根據(jù)推論5，由eΩf，則ge=gf,但是gek=gfk，這就出現(xiàn)矛盾。

相反，ρ不是冪等元分離同余的，通過引理4，存在 e,f∈E(S)，e≠f，使得 eρf,eΩf,eRf，eLf，geg=0成立的充要條件是gfg=0，此時若eΩf,eRf或eLf，而E(S)不是析取的。若e≤f且eΩf，那么，假設(shè)存在g∈E(S)有，又 fe=e,則fg=g，所以，且geRgf，但是geρgf的條件是E(S)不是析取的。

定理8 設(shè)正則半群S含有零元，若S是同余自由正則半群，則

（1）S是基本逆半群;

（2）E(S)是析取的。

證明：（1）見文獻〔1-4〕；（2）由定理7可得。

定理9 設(shè)正則半群S含有零元，S是同余自由正則半群的充要條件是S是零單的基本逆半群并且E(S )是析取的〔9-14〕。

證明：必要性由定理7顯然;現(xiàn)只需證充分性。若S是0-單的，則S是完全0-單的，那么它必是正則半群，容易發(fā)現(xiàn) |S|>2的同余自由正則半群不是逆半群（即對于析取的定義不是平凡的）。因此有S與含零元的完全零單半群同構(gòu)即S?[G ;I,Λ;P]，若 |G|≠1，令(G ,1I,1Λ )對應(yīng)S上的同余τ，則τ=1S或τ=S×S。再設(shè)a∈G且a≠e，由，但所以

可得S是同余自由正則半群（見〔1〕），但是這里只涉及一個冪等元的情況，若任意e,f,p,q∈E()S，S又是基本的逆半群，E()S是析取的，根據(jù)引理4及引理6得S是同余自由正則半群。

〔1〕HOWIE J M.An Introduction to Semigroup Theory〔M〕.New York:Academic Press，1976.

〔2〕MUNN W D.Congruence-free Inverse Semigroups〔J〕. Quart.J.Math，1974，25（2）:463-484.

〔3〕TROTTER P G.Congruence-free Inverse Semigroups〔J〕. Semigroup Forum，1974（9）:109-116.

〔4〕GUO X J,DING J Y,HE X T.Primitive Left Ample Semi?groups〔J〕.Journal of Semigroups Theory and Applications，2013，2013（7）:1-9.

〔5〕WANG L M.Congruence-free Regular Semigroups with Q-nverse Transversals〔J〕.Acta Mathematica Sinica：Chinese Series，2002，45（1）:15-20.

〔6〕BAILES G L.Right Inverse Semigroups〔J〕.J.Algebra，1973，26:429-507.

〔7〕PASTIJN F，PETRICH M.Congruences on Regular Semi?groups〔J〕.Trans.Amer.Math.Soc.，1986，295:607-633.

〔8〕HALL T E.On Regular Semigroups〔J〕.J.Algebra，1973，24:1-24.

〔9〕龍薇，汪立民.自由單演逆半群上的核-逆算子半群〔J〕.數(shù)學(xué)學(xué)報，2014，57（1）：101-108.

〔10〕馮建.關(guān)于完全正則半群同余對的一個公開問題〔J〕.西南大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2009，31（12）：96-99.

〔11〕QIU X W，GUO X J，SHUM K P.Strongly Rpp Semi?groups Endowed with Some Natural Partial Orders〔J〕. Journal of Semigroups Theory and Applications，2013，2013（7）：18-29.

〔12〕羅肖強.完全單半群上同余的另一刻畫〔J〕.四川文理學(xué)院學(xué)報，2010，20（2）：20-22.

〔13〕LUO X Q.Π?-regular Semigroups〔J〕.Bulletin of Mathe?matical Science&Applications（India），2012，1（1）：63-70.

〔14〕喻秉鈞.平衡范疇與半群的雙序〔J〕.數(shù)學(xué)學(xué)報，2012，55（2）：321-340.

（責(zé)任編輯 袁 霞）

A Note of Congruence-free Regular Semigroups with Zero Element

LUO Xiaoqiang
（College of Mathematics and Finance-economics,Sichuan University of Arts and Science,Dazhou,Sichuan 635000,China）

In this paper,let S be a regular semigroup,and E(s)be the set of idempotent of regular semigroup S.By constructing the relation between sets in S,we obtain a new method to show the regular semigroup S with zero element is a congruence-free regular semigroup.

regular semigroups;the set of idempotent element;disjunct sets;congruence-free regular semigroups

O152.7

A

1672-2345（2014）06-0007-03

10.3969∕j.issn.1672-2345.2014.06.003

2013-12-22

2014-02-10

羅肖強，副教授，主要從事半群代數(shù)理論研究.