DLA模型及其在模擬植物生長中的應用

馬林濤，陳德勇

（1.廣西師范大學數(shù)學與統(tǒng)計學院，廣西桂林 541004;2.桂林市計量測試研究所，廣西桂林 541004）

DLA模型及其在模擬植物生長中的應用

馬林濤1，陳德勇2

（1.廣西師范大學數(shù)學與統(tǒng)計學院，廣西桂林 541004;2.桂林市計量測試研究所，廣西桂林 541004）

主要用迭代法產(chǎn)生并繪制最具代表性的分形結構——擴散限制凝聚模型，模擬植物的生長，動態(tài)觀察粒子生長的過程，并借助數(shù)學建模中解曲線擬合問題的思想方法，最終建立了2個比較合理的模擬植物生長的三次多項式模型與指數(shù)函數(shù)模型，較好地預測植物的生長趨勢，實現(xiàn)對植物生長的實時監(jiān)控和估測。

DLA模型;三次多項式模型;指數(shù)函數(shù)模型

1 DLA模型簡介

DLA（Diffusion Limited Aggregation）模型能夠產(chǎn)生復雜的具有隨機分形〔1〕結構的圖形。主要用它來模擬自然界中的隨機生長現(xiàn)象。植物生長的模擬是分形〔2〕的一個新興的、熱門的研究領域。

2 DLA模型生長的數(shù)學原理

DLA模型均勻隨機釋放游動的粒子與凝聚體碰撞并粘貼在其上形成分形圖形〔3〕的過程都遵循可動邊界的拉普拉斯方程〔1〕。

3 DLA模型的分形演化過程

（2）從方格區(qū)域內(nèi)隨機釋放粒子，并且每次只釋放一個粒子，該粒子以類布朗運動的方式在平面區(qū)域上游動。

（3）判斷每一時刻運動粒子左、上、右、下這4個位置與隨機粒子相鄰的凝聚體粒子，若不存在粒子，則運動粒子將會繼續(xù)運動下去，直至在方格區(qū)域的邊界上消失;若存在粒子，則運動粒子將會停止運動，并將該粒子用凝聚體的顏色在方格上描繪出來，與原來的凝聚體形成新的凝聚體，且返回步驟（2）。

4 DLA模型模擬植物生長過程，并生成分形圖形

下面我們用Matlab程序繪出DLA模型〔4-5〕，取粒子數(shù)為600，100，3 000，分別得到相應的粒子成長過程分形圖形，見圖1～3。

圖1 600個粒子生長的過程

圖2 1 800個粒子生長的過程

圖3 3 000個粒子生長的過程

5 DLA模型模擬植物生長過程的數(shù)據(jù)處理及建立數(shù)學模型

根據(jù)以上圖1至圖3中粒子數(shù)目及植物生長需要的時間（由計算機根據(jù)程序命令執(zhí)行計算），再多取一些粒子數(shù)，得到如表1中的統(tǒng)計數(shù)據(jù)。

表1 粒子數(shù)目及植物生長需要的時間

根據(jù)上述表格中的數(shù)據(jù)，建立數(shù)組，

χ=[200,300,800,900,1400,1500,……,1300,1800,1900,2400,2500,3000]；

y=[10.3,21.4,75.5,90.8,200.2,……,146.3,289,377.2,591.7,812.3,1455.7]；以粒子生長的數(shù)目為橫坐標，植物生長所用的時間為縱坐標，利用Matlab軟件〔6-7〕繪制圖形的功能，將隨著粒子的不斷生長，DLA模型中植物生長所用的時間的變化情況繪制出來。運行結果如圖4所示。

圖4 植物生長時間變化的情況

從圖4植物生長時間變化情況中，可以看出來，它大致服從二次函數(shù)或三次多項式函數(shù)或指數(shù)函數(shù)增長的規(guī)律：當給定粒子總數(shù)，讓粒子等概率隨機地生長時，粒子數(shù)目在[2 00，2000]范圍內(nèi)植物生長所需要的時間是隨著粒子數(shù)目的增加而較小幅度地增加；粒子數(shù)目在[2 000，3000]范圍內(nèi)植物生長所需要的時間是隨著粒子數(shù)目的增加而較大幅度地增加，最后植物將以很緩慢的速度生長，并且速度會趨于平穩(wěn)，這與生物學中種群在一個適宜環(huán)境中生長的“S”型曲線的生長規(guī)律是大致相同的〔8〕。

下面用二次多項式對植物生長數(shù)據(jù)進行擬合，根據(jù)最小二乘法〔9〕，利用以下的Matlab程序建立植物生長的二次多項式模型。數(shù)據(jù)擬合見圖5。

編寫M—文件shujunihe2.m

A=polyfit（x，y，2）;%用二次多項式擬合向量數(shù)據(jù)（x，y），返回多項式的降冪系數(shù)向量A

Z=polyval（A，x）;%根據(jù)多項式A計算出在x處的插值函數(shù)值

Z1=polyval（A，x1）%根據(jù)多項式A計算出在x1處的插值函數(shù)值，即預測值

Q1=sqrt（abs（sum（（y-Z）.^2）））%求均方誤差

plot（x，y，'k.'，x，Z，'ko'，x1，Z1，'k+'）;%同時繪制出原數(shù)據(jù)的散點圖，擬合原數(shù)據(jù)得到的散點圖，預測值的散點圖

xlabel（'生長的粒子數(shù)目單位：個'）;

ylabel（'植物生長所用的時間單位：秒'）; hold on

x=linspace（190，3100）;

y=a*x.^2+b*x+c;

plot（x，y，'k'）;

gtext（'離散的實心點（.）為植物生長時間的原數(shù)據(jù)'）;

gtext（'離散的空心點（o）為對植物生長時間的原數(shù)據(jù)擬合'）;

gtext（'離散的點+為預測植物生長時間得到的數(shù)據(jù)點'）;

gtext（'光滑的曲線為以二次多項式對原數(shù)據(jù)進行擬合'）; end

程序的運行結果如下：

均方誤差：Q1=315.0529。

圖5 二次多項式對原數(shù)據(jù)進行擬合

建立二次多項式模型：y=2.5226×10-4χ2-0.3424χ+143.4500。

利用二次多項式模型對植物生長進行預測，結果見表2。

表2 二次多項式模型對植物生長預測

為了減少擬合的誤差，用三次多項式對植物生長數(shù)據(jù)進行擬合（見圖6），同理可以得到系數(shù)

均方誤差：Q2=228.4554。

圖6 三次多項式對原數(shù)據(jù)進行擬合

建立三次多項式模型：

利用三次多項式模型對植物生長進行預測，結果見表3。

表3 三次多項式模型對植物生長預測

考慮用指數(shù)函數(shù)對植物生長數(shù)據(jù)進行擬合（見圖7），建立植物生長的指數(shù)函數(shù)模型：均方誤差：Q3=252.9088。

圖7 指數(shù)函數(shù)模型對原數(shù)據(jù)進行擬合

建立指數(shù)函數(shù)模型：y=31.6035×e0.02×0.0648χ。

利用指數(shù)函數(shù)模型對植物生長進行預測，結果見表4。

表4 指數(shù)函數(shù)模型對植物生長預測

現(xiàn)將DLA模型植物生長時間變化情況、二次多項式模型、三次多項式模型和指數(shù)函數(shù)模型的圖像綜合在同一個圖中，進行觀察和分析。見圖8。

圖8 3個數(shù)學模型與原數(shù)據(jù)綜合在一起

從上面3個模型與圖8中可以看出：Q2與Q3比較接近，且均小于Q1。因此，三次多項式模型與指數(shù)函數(shù)模型在區(qū)間[5 00，2822]上很逼近，都可以很好地用來模擬植物生長的過程；在區(qū)間，三次多項式模型與指數(shù)函數(shù)模型產(chǎn)生明顯的分叉。區(qū)間[5 00，2822]與χ=2822的確定方法如下：先作出y=y1-y2的圖像。得到結果如圖9所示。

圖9 函數(shù)y=y1-y2的示意圖

從圖9中觀察到 y=y1-y2在 χ=2 000和χ=3 000附近均有一個根，以下求解這兩個近似根。

由上述可以得到函數(shù)y1與y2函數(shù)的兩個近似交點為 χ=1884.3與 χ=2822.0，對應函數(shù)值f=2.2908×10-11和 f=-2.4575×10-9都非常接近于零，h1與h11大于零說明結果可靠。

6 結束語

通過DLA模型模擬植物的生長，動態(tài)觀察粒子生長的過程，建立適當?shù)哪M植物生長的三次多項式與指數(shù)模型，可以實時監(jiān)控并預測植物生長的趨勢。此外Batty等最先借助DLA模型將城市擴展視為粒子凝聚生長過程〔10〕，還可以利用DLA模型大致了解城市擴展的隨機過程〔11〕，預測城市在將來的擴展趨勢。

〔1〕肯尼思·法爾科內(nèi).分形幾何:數(shù)學基礎及其應用〔M〕.曾文曲，譯.沈陽：東北大學出版社，2003：344-349.

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〔11〕張麗娜，何遠，竇瓊英，等.基于組合混沌的偽隨機數(shù)算法研究〔J〕.大理學院學報，2013，12（10）:6-8.

（責任編輯 袁 霞）

Study on DLA Model and Its Application in Simulating Plants Growth

MA Lintao1,CHEN Deyong2
（1.School of Mathematics and Statistics,Guangxi Normal University,Guilin,Guangxi 541004,China;2.Guilin Measurement and Testing Research Institute,Guilin,Guangxi 541004,China）

This paper discusses how to produce and draw the most representative of the fractal structure of Diffusion Limited Aggregation（DLA）model based on the fractal theories of iterative process,so that the process of particle dynamic growth and simulate the growth of plants are observed.By using the method of mathematical modeling for curve fitting,it establishes two more reasonable mathematical models of simulating plants growth,which are 3 polynomial model and index function model.They can predict the trend of plants growth,and realize the real-time monitoring of plants growth and estimation.

DLA model;3 polynomial model;index function model

O244

A

1672-2345（2014）06-0029-04

10.3969∕j.issn.1672-2345.2014.06.008

2013年度廣西師范大學校級博士啟動基金資助項目（17A4）

2013-12-25

2014-01-19

馬林濤，助教，博士，主要從事分形分析研究.