廣義電子氣體的磁化

王兆軍，朱春花，呂國梁

（新疆大學(xué)物理學(xué)院，烏魯木齊 830046）

廣義電子氣體的磁化

王兆軍，朱春花，呂國梁

（新疆大學(xué)物理學(xué)院，烏魯木齊 830046）

電子氣體磁化是熱力學(xué)與統(tǒng)計物理等學(xué)科教學(xué)中經(jīng)常采用的理論應(yīng)用方面的范例。就廣義電子氣體的磁化展開討論，涵蓋了從經(jīng)典到量子、從簡并到非簡并、從非相對論到相對論、從弱場到強場等的許多范圍，對學(xué)生掌握概念、體會物理理論的使用范圍等方面具有很好的示范作用。其中相對論電子氣體磁化的結(jié)果來自作者的科研成果，沒有詳細論述，可參閱文中所列舉的參考文獻進行了解。另外，文中所包含的磁相變內(nèi)容也是教學(xué)中討論各種相變的實例之一。

磁化;自旋磁矩;朗道量子化;磁相變

電子氣體廣泛存在于金屬、半導(dǎo)體、異質(zhì)結(jié)和各種密度范圍的等離子體中，在地面實驗室中見到的電子氣體多是非相對論的，在部分天體等離子體中（如一般恒星的內(nèi)部、恒星耀斑等）出現(xiàn)的電子氣體也可當(dāng)作非相對論的，而致密天體內(nèi)部（包含白矮星和脈沖星）的電子氣體則是相對論的。正是電子氣體在磁場中的磁化導(dǎo)致了在各種地球?qū)嶒炇液吞炜諏嶒炇抑兴袦y到的各種現(xiàn)象，如金屬中的鐵磁現(xiàn)象、霍爾效應(yīng)、de Haas-van Alphen震蕩效應(yīng)、Shoenberg效應(yīng)、Condon磁相變等，這些現(xiàn)象也應(yīng)該在致密天體中有相應(yīng)的應(yīng)用。因此，電子氣體磁化具有非常重要的應(yīng)用價值。

1 介質(zhì)磁化的一般概念

自然界中宏觀靜態(tài)磁場的一般物質(zhì)載體只有兩個，一個來自帶電粒子的定向運動，即通常意義下的傳導(dǎo)電流；另一個則來自基本粒子的磁偶矩（包括內(nèi)稟磁矩和軌道磁矩）的規(guī)則排布。誠然，均勻變化的電場也能激發(fā)靜態(tài)磁場，但它不屬于一般物質(zhì)的范疇，在這里，我們不考慮這種特殊的物質(zhì)形態(tài)形式。在通常情況下，由于熱運動的影響，介質(zhì)中磁偶矩的取向是無規(guī)則的，只有在外加磁力矩的作用下，磁偶矩在一定程度上沿磁場的方向排列起來，這種現(xiàn)象叫做介質(zhì)的磁化。介質(zhì)被局域磁化的程度用磁化強度矢量M描述，其物理意義是介質(zhì)中單位體積內(nèi)的磁偶極矩。另一個具有觀測意義的物理量叫磁感應(yīng)強度B，它與磁化強度的關(guān)系可通過輔助物理量H表述：B∕μ0=H+M，其中，μ0是真空中的磁導(dǎo)率，H叫磁場強度，它的唯一意義是其旋度由自由電流密度j決定，?×H=j，但它自身并不能由自由電流唯一確定。因此，這3個宏觀局域物理量中只有兩個是獨立變量。在實際應(yīng)用和地球?qū)嶒炇抑杏龅降膯栴}通常是一塊磁材料在外場中的磁化問題，此時的H就是外加磁場，而磁化強度矢量M只認為是外加磁場H的函數(shù)。如果介質(zhì)是均勻、各項同性的線性介質(zhì)，磁化規(guī)律具有簡單的形式：M=χmH，這里的χm叫介質(zhì)的磁化率。若遇到的是物質(zhì)系統(tǒng)的自磁化問題，H不再具有如此簡單的物理含義，天體中的磁化就屬于此類問題，它們的磁化場來自于系統(tǒng)本身。

實際上，磁偶矩受到的力矩作用來自于B而非H，因此，磁化強度矢量M應(yīng)該是磁感應(yīng)強度B的函數(shù)。這種由B取代H的結(jié)果叫Shoenberg效應(yīng)，它是Shoenberg在1962年研究金屬鉍的磁化現(xiàn)象時首先提出的〔1〕。傳統(tǒng)意義下的磁化只考慮磁偶矩受外場的作用，忽略了磁偶矩間的相互作用，Shoenberg效應(yīng)則顧及了這種磁相互作用，在弱磁化條件下，傳統(tǒng)的處理只是一種近似。若不是弱磁化，這種磁相互作用會導(dǎo)致不同位置的磁化相互激發(fā)，在適當(dāng)條件下，相互間的磁化可能發(fā)生級聯(lián)效應(yīng)，也就是說磁化是非穩(wěn)定的，穩(wěn)定的態(tài)是一種新的磁化相，用熱力學(xué)的術(shù)語來說就是系統(tǒng)發(fā)生了磁相變。理論上可能存在兩種磁相變，下面分別討論這兩種相變。

①若最初時無外場存在，即H=0，此時，B=μ0M(B)，在這里已將磁化強度矢量M明確地表示成磁感應(yīng)強度的函數(shù)。若此方程有解，表明在介質(zhì)內(nèi)發(fā)生了自發(fā)磁化現(xiàn)象，這就是在鐵磁材料中磁疇內(nèi)所觀測到的現(xiàn)象〔2〕。若外場非零，且介質(zhì)為線性介質(zhì)，重新定義靜態(tài)磁化率χm為：χmB=μ0M，則B和H間滿足關(guān)系

上式表明，當(dāng)χm→1時，介質(zhì)趨于飽和磁化，χm≥1是自發(fā)磁化相變發(fā)生的必要條件之一。

②另一類相變發(fā)生在外加磁場非零的情況。當(dāng)外場發(fā)生變化時，介質(zhì)內(nèi)的磁感應(yīng)強度和磁化強度相應(yīng)地變化，它們的變化間滿足關(guān)系：δB=μ0（δH+δM），若定義介質(zhì)的微分磁化率χ~mδB=μ0δM，則δB和δH間滿足關(guān)系

因為δB和δH必須同正負，所以微分磁化率必須小于1。在低溫強磁場下的某些金屬，它們的磁化隨外場震蕩，這種現(xiàn)象叫de Haas-van Alphen效應(yīng)，當(dāng)外磁場變化至微分磁化率大于或等于1時，原來均勻分布的磁場相變成具有反向磁化強度的磁疇結(jié)構(gòu)，這種相變叫Condon相變，相應(yīng)的磁疇結(jié)構(gòu)叫Condon磁疇〔3〕。因此，χ~m≥1時發(fā)生的是Condon磁相變。下面以電子氣體為例具體討論磁化的各種表現(xiàn)。

2 非相對論電子氣體的磁化

電子氣體是自旋為1∕2的費米系統(tǒng)，其態(tài)分布服從費米-狄拉克統(tǒng)計。雖然電子在磁場中的經(jīng)典運動是螺旋線的軌道運動，實際的運動卻是量子化的，即電子在垂直磁場方向上的運動是朗道量子化的。因而電子氣體的磁化是一個多范圍（從非相對論至相對論）、多方法（經(jīng)典和量子方法）的研究實例。在下面關(guān)于磁化的論述中，我們經(jīng)常忽略作為電子背景（原子或離子）的磁矩。

2.1經(jīng)典電子氣體自由電子在磁場中的經(jīng)典運動是螺旋線運動。在洛倫茲力作用下，電子軌跡在垂直磁場方向的投影是閉合的拉莫爾圓軌道。多種方法可以證明經(jīng)典電子氣體是無磁化的。

①洛倫茲力不對電子做功，因而電子氣體在外加磁場前后的能量沒有改變，磁場本身的能量也不發(fā)生變化，說明電子氣體沒被磁化。

②雖然電子拉莫爾圓軌道運動貢獻一個反磁矩（因為拉莫爾軌道磁矩的符號總是負的），氣體內(nèi)部的總磁矩也與外磁場反向，但是靠近系統(tǒng)邊界面上的電子（距界面的距離小于拉莫爾半徑）由于反彈而不能完成完整的軌道運動，相當(dāng)于在邊界面上有反向的閉合電流分布，該電流分布的磁矩恰與內(nèi)部的整體反磁矩抵消〔4〕，相當(dāng)于系統(tǒng)沒被磁化。

③更標準的經(jīng)典電子氣體非磁化理論來自經(jīng)典統(tǒng)計方法?？紤]具有位置坐標ri和動量坐標pi的N個自由電子組成的經(jīng)典氣體，其配分函數(shù)滿足

其中，β=1∕kT（k是玻爾茲曼常數(shù)，T是系統(tǒng)的溫度），H是系統(tǒng)的哈密頓函數(shù)

其中，A代表磁場的矢量勢，且B=?×A，電子的電量和質(zhì)量分別為-e和me。在（3）式中的積分中可進行動量變換而消除A，

根據(jù)系統(tǒng)的自由能F=-lnz∕β可計算磁化強度上述方法叫Bohr-van Leeuwen理論。

2.2量子電子氣體實際上，自由電子在磁場中的運動是量子化的。一方面是由于電子具有自旋，自旋在磁場中的取向只有同向和反向兩個分立的取向，相應(yīng)的能級分別為-μBB和+μBB，其中的常數(shù) μB叫玻爾磁子。另一方面，自由電子在垂直磁場方向的運動是束縛運動，相似于在原子核庫侖作用下的軌道運動，它們的角動量（或磁矩）、能量等是量子化的。電子在磁場中橫向運動的量子化叫朗道量子化，相應(yīng)的量子化能量叫朗道能級，每個朗道能級都是簡并的，簡并度為外磁場磁通Φ中所含元磁通量子Φ0=hc∕e的數(shù)目，即G=Φ/Φ0。量子電子氣體的態(tài)分布滿足泡利不相容原理，其統(tǒng)計服從費米-狄拉克統(tǒng)計。為全面討論廣義（即全范圍的溫度、磁場、密度等效應(yīng)）量子電子氣體的磁化，先引入幾個能量參數(shù)。①電子靜止能量 μe≡mec2；②電子氣體的熱運動動能εT≡kT；③電子氣體的費米能或零點動能（絕度溫度等于零）εF；④電子在磁場中的回旋能（非相對論時的朗道能級間隔）εc≡μBB=μeB∕BQ，BQ=4.4×1013G是量子磁場（即回旋能等于靜止能）。當(dāng)εF<μe時，系統(tǒng)是非相對論的，否則是相對論的；當(dāng)εc<εT（即弱場磁化）時，系統(tǒng)近似滿足線性磁化規(guī)律，否則為非線性磁化。下面在非相對論條件下分別討論線性和非線性磁化。

2.2.1 弱場下的電子氣體 在弱場條件下，εc<εT，即相鄰朗道量子化能級間隔小于熱動能，量子化效應(yīng)不是很顯著，此時自旋和軌道兩種量子化效應(yīng)相互獨立，可單獨分析，很多參考文獻中都有這方面的詳細推導(dǎo)〔5〕。結(jié)果表明，自旋取向量子化導(dǎo)致電子氣體呈現(xiàn)泡利順磁性，而軌道量子化的結(jié)果則是朗道反磁，后者大小是前者的三分之一。比較εF與εT的大小，磁化問題又可區(qū)分兩種情況。

①非簡并情況，εF<εT。這時的量子電子氣體態(tài)分布可近似當(dāng)作經(jīng)典的玻爾茲曼分布，在外場中的磁化是線性磁化，相應(yīng)的磁化率為〔6〕

式中的n為電子數(shù)密度，α為精細結(jié)構(gòu)常數(shù)，在最后的等式中已將磁化率表示成以能量為參量的無量綱化形式。上式表明，磁化率與溫度成反比，這就是熟知的居里定律。

②簡并情況，εF>εT>εc。電子氣體主要分布于動量空間的費米球內(nèi)，只有費米球面的電子占據(jù)受溫度影響而發(fā)生微小變化，此時系統(tǒng)的化學(xué)勢近似等于費米能，這時的磁化仍是線性磁化，相應(yīng)的磁化率為〔6〕（忽略溫度效應(yīng)）

顯然，線性磁化的自由電子氣體不能發(fā)生自發(fā)磁化，即方程B=μ0M(B)只有零解，這是無規(guī)則熱運動大于有序磁相互作用的結(jié)果。

2.2.2 強場下的簡并電子氣體 在強場條件下，εF>εc>εT，電子分布在與磁場有關(guān)的分立能級上，因此是簡并的。系統(tǒng)的能量隨磁場發(fā)生變化，特別是當(dāng)電子填滿最后一個朗道能級時，系統(tǒng)能量會隨磁場發(fā)生劇烈震蕩，這就是產(chǎn)生de Haas-van Al?phen震蕩效應(yīng)的原因。根據(jù)朗道能級和簡并度的表達式，用量子統(tǒng)計的方法寫出巨勢的離散求和形式，當(dāng)朗道量子數(shù)大于2時，用近似方法可將求和變成積分，最后可得到磁化震蕩形式的解析解，這是許多參考文獻中都能見到的求解過程〔5〕。微分磁化率的最終結(jié)果可表示成（忽略溫度效應(yīng)）

其中無量綱形式的系數(shù)為

（9）式的結(jié)果表明，在強磁場下，簡并電子氣體的磁化隨磁場而震蕩，按變化的震蕩頻率為

（10）式表示的基頻振幅是費米能和磁場的函數(shù)，在足夠高費米能和足夠低磁場的條件下，系統(tǒng)有可能出現(xiàn)磁相變。當(dāng)χ~m=1（或χm=1）時，將出現(xiàn)自發(fā)磁化，這種現(xiàn)象叫朗道軌道鐵磁現(xiàn)象〔7〕；當(dāng)χ~m>1時，電子系統(tǒng)將出現(xiàn)Condon磁相變。

3 相對論電子氣體的磁化

在致密天體（白矮星、脈沖星）內(nèi)部存在相對論的電子氣體，如中子星固體殼層內(nèi)的電子，其費米能達到εF～50MeV的量級，遠高于電子的靜止能～0.5 MeV，而熱運動動能只有幾百電子伏特的量級，因此，中子星內(nèi)部的電子是高度相對論和高度簡并的費米系統(tǒng)。相對論電子氣體在磁場中的本征值、本征態(tài)問題需求解狄拉克方程，其能級為相對論的朗道能級

式中的pz為電子沿磁場方向上的動量分量，朗道量子數(shù)r=0,1,…，量子數(shù)等于零時只有一種自旋取向，其它則包含兩種取向。（12）式表明相對論電子的能譜不再是線性的，這是與非相對論情況的主要不同，但仍可用與非相對論相似的統(tǒng)計方法研究磁化。為一般討論電子氣體的磁化性質(zhì)，將相對論情況的磁化也區(qū)分為弱磁場和強磁場兩種情形。

①弱場下的相對論電子氣體。若εc<εT，相對論電子氣體同樣服從線性磁化規(guī)律〔5〕。磁化率的結(jié)果為

上式表明，線性磁化率隨費米能的增加按對數(shù)函數(shù)增加，即使在中子星內(nèi)部的致密電子氣體中，其磁化率也遠小于1。

②強場下的相對論電子氣體。若εc>εT，磁化同樣隨磁場按de Haas-van Alphen效應(yīng)震蕩，微分磁化率具有與（9）式相同的形式，只是具有不同的震蕩周期和振幅〔6〕。

此時的震蕩頻率和基頻震蕩振幅〔8〕分別為

和

在中子星內(nèi)部，由于高的電子費米能（～50 MeV），式（15）表示的基頻震蕩振幅在很寬的磁場范圍內(nèi)（B<170BQ）都可大于1，因此，中子星內(nèi)部可以發(fā)生磁相變。當(dāng)χ~m=1（或χm=1）時，將出現(xiàn)朗道軌道鐵磁現(xiàn)象；當(dāng)χ~m>1時，電子系統(tǒng)將出現(xiàn)Condon磁相變。

4 總結(jié)

文章中我們?nèi)嬗懻摿藦V義電子氣體的磁化，其范圍包含相對論與非相對論；經(jīng)典與量子化；簡并與非簡并；弱場與強場等。為討論磁相變行為，文章中還給出了不同范圍內(nèi)磁化率的計算公式，分析了發(fā)生自發(fā)磁化和Condon相變的可能。我們的研究表明，中子星內(nèi)部的電子氣體可近似為完全簡并和相對論的費米系統(tǒng)，系統(tǒng)的磁狀態(tài)在中子星內(nèi)部的某些層次上會出現(xiàn)Condon相變態(tài)，類似于兩種疇結(jié)構(gòu)的反鐵磁態(tài)。疇結(jié)構(gòu)的出現(xiàn)可能引起不穩(wěn)定行為的發(fā)生，導(dǎo)致在磁星（磁場超強的一類中子星）中觀測到的爆發(fā)現(xiàn)象，詳細的討論請參閱參考文獻〔9〕。

〔1〕SHOENBERG D.The Fermi surfaces of copper，silver and gold I.The de Haas-van Alphen effect〔J〕.Philosophical Transactions of The Royal Society A Mathematical Physical and Engineering Sciences，1962，255（1052）:85-133.

〔2〕趙凱華，陳熙謀.電磁學(xué)：下冊〔M〕.北京：高等教育出版社，1985：65-72.

〔3〕CONDON J H.Nonlinear de Haas-van Alpheneffect and magnetic domains in beryllium〔J〕.Phys.Rev.，1966，145: 526-535.

〔4〕EGOROV V S.Condon domains-these non-magnetic dia?magnetic domains〔J〕.Cond.Mat.，2005，5415:1-35.

〔5〕LANDAU L D，LIFSHITZ E M.Statistical Physics〔M〕.3nd Edition.New York:Pergamon Press，1980:158-183.

〔6〕王兆軍，呂國梁，朱春花，等.中子星中簡并電子氣體的臨界磁化〔J〕.物理學(xué)報，2011（4）:836-845.

〔7〕LEE H J，CANUTO V，CHIU H Y，et al.New state of ferro?magnetism in degenerate electron gas and magnetic fields in collapsed bodies〔J〕.Phys.Rev.Lett.，1969（23）:390-393.

〔8〕王兆軍，呂國梁，朱春花，等.相對論簡并電子氣體的磁化〔J〕.物理學(xué)報，2012，61（17）:1-6.

〔9〕WANG Z J，LYV G L，ZHU C H，et al.The Shoenbergef?fect in a relativistic degenerate electron gas and observa?tional evidence in magnetars〔J〕.Astrophys.J.，2013，773（2）:160-165.

（責(zé)任編輯 袁 霞）

The Magnetization of Free Electron Gas for the Entireregimes

WANG Zhaojun,ZHU Chunhua,LYU Guoliang
（School of Physical Science and Technology,Xinjiang University,Urumqi 830046,China）

Magnetization of free electron gas for the entire regime is an ideal example for the teaching of thermodynamics and statistical mechanics et al.The entire regime includes degenerate and non-degenerate,classical and quantum,non-relativistic and relativistic,low magnetic field and high magnetic field et al.From this,students can understand the conception of physics and the differences between application range of physical theory.The relativistic parts about magnetization of electron gas come from the results of author,which can be referenced from corresponding references.However,the magnetic phase transition in this paper is also an ideal example for the teaching and the study of general phase transitions.

magnetization;magnetic moment of spin;Landau quantization;magnetic phase transition

O4-1：P142.6

A

1672-2345（2014）06-0033-05

10.3969∕j.issn.1672-2345.2014.06.009

國家自然科學(xué)基金資助項目（10963003）;新疆大學(xué)博士基金資助項目（BS110108）

2014-01-02

2014-01-28

王兆軍，副教授，主要從事理論物理研究.