基于復合因子模型的OTC金融衍生品的定價

李 琰

(河南牧業經濟學院 金融系，鄭州 450044)

0 引言

金融衍生品（Derivative Instruments）是源于基礎性金融工具的派生物，場外交易金融衍生品（Over-The-Counter for Derivative Instruments）（簡稱OTC金融衍生品）是指在交易所以外交易的金融衍生品，通常由交易雙方根據各自需求協商完成。OTC金融衍生品通過金融中介機構分散達成協議，其設定形式靈活，沒有標準產品、統一定價、集中競價；產品的交易屬于雙方交易，買方和賣方互為交易對手方，雙方可以根據具體需求定制交易產品，產品的創新性強；OTC產品滿足個性化需求、與金融實際需求密切相關，流動性低，有較大的信用風險。

目前，市場上OTC金融衍生品種類繁多，主要可以分為遠期、期貨、互換、期權四種基本類別，另外考慮到OTC金融衍生品設計的靈活性，ISDA（國際互換和衍生品協會）規定超越以上四類的衍生品統統歸為其他類別，如包括變動本金以及具有多重特征的合約。何樹紅（2010）、楊晉渝（2012）等人研究發現期權類的金融產品呈顯著非線性外，而大多數資產的價值變化都是市場因子變化的線性函數。張玉紅（2009）、周件（2010）等分析了期權的B-S模型定價有其特殊性，它是理論演繹模型，條件要求高，不適用于OTC金融衍生品的定價。胡陽（2010）等人提出用于OTC金融衍生品的定價方法同公開交易合約的定價并無不同。王娟（2011）、龐麗艷（2013）、劉成彥（2013）等人研究了固定收益的利率產品，發現具有非線性特征。本文的研究品種是固定收益的利率產品，針對固定收益的利率產品具有多重特征，呈非線性。論文以市場風險和信用風險的復合影響為出發點，通過模型分解把非線性問題轉化為一個非線性模型和一個線性模型的組合，非線性是考慮復合因子與單因子之間的關系，線性問題是考慮收益率與復合因子之間的關系。因此，本文通過把復雜的非線性問題分解為簡單的線性問題和簡單的非線性問題的組合，來解決OTC金融衍生品的定價問題。

1 衍生品定價的數理基礎

在OTC市場中，金融衍生品的定價選擇何種方法取決于被估值的衍生證券的特性以及所要求的精度。B-S定價模型主要用于歐式期權的定價，經擴展后可以為指數期權、貨幣期權及各種利率期權定價；二叉樹定價方法都是從衍生證券有效期最后時刻開始計算，倒推回有效期的初始時刻。在每一個節點的計算不僅反映了期權在該時刻可能提前執行對期權價值產生的影響，而且也反映了在后面的時間里提前執行對期權價值的影響，因此它既能對歐式期權也能對美式期權定價。本文所選產品是結構化的OTC金融衍生品，呈非線性特征。根據張玉紅（2009）的研究，OTC金融衍生品的收益率與產品期限，信用等級、基準利率存在一定的相關關系，本文將作進一步深入，討論收益率與產品期限，信用等級、基準利率以及它們復合因子之間的線性相互依存關系，而多元逐步線性回歸分析正好滿足需求。

設隨機變量y與一般變量x1，x2…xm的線性回歸模型為：

其中，β0，β1，…，βm是m+1個未知參數，稱為回歸系數。y稱為被解釋變量，而x1，x2，…xm是m個可以精確測量并可控制的一般變量，稱為解釋變量。當m≥2時，就稱式（1）為多元線性回歸模型。ε是隨機誤差，通常對隨機誤差項有如下假定：

對一個實際問題，如果獲得n組觀測數據(xi1，xi2，…，xim；yi)，i=1，2…，n，則線性回歸模型（1）式可表示為：

為了方便地進行模型的參數估計，對回歸方程（3）式有如下基本假定。

（1）解釋變量x1，x2，…xm是確定性變量，不是隨機變量，且要求rk(X)=m+1＜n。這里rk(X)=m+1＜n，表明設計矩陣X中的自變量列之間無多重共線性，樣本容量的個數大于解釋變量的個數，X是以滿秩矩陣。

（2）隨機誤差項具有0均值和同方差，即：

這個假定常稱為Gauss-Markov條件。E(εi)=0，即假設觀測值沒有系統誤差，隨機誤差εi的平均值為0。隨機誤差項ε的協方差假定表明隨機誤差項在不同的樣本點之間是獨立的，不存在序列相關。

（3）正態分布的假定條件為：

對于多元線性回歸的矩陣形式，（4）式可表示為：

由上述假定和多元正態分布的性質可知：

隨機向量Y仍遵從n維正態分布，回歸方程（4）式的期望向量為：

多元線性回歸方程及其回歸系數的直觀解釋就是當其它變量不變時，某個自變量變動一單位對于因變量的影響程度就是這個自變量對應的回歸系數。整個多元線性回歸方程的解釋就是所有自變量一起變動時，它們的線性組合就是對于因變量的影響程度。

假設置信度是95%。當檢驗變量大于臨界概率時的檢驗值時則拒絕原假設，認為有顯著差異。否則接受原假設，認為兩變量相關關系不顯著。另外，在SPSS的相關分析過程的輸出中還給出相關系數的值。文中把收益率作為被解釋變量，產品期限、信用等級、基準利率以及它們復合因子作為解釋變量進行逐步線性回歸，以期得到OTC金融衍生品的復合因子定價模型。

2 樣本選擇與模型的構建

2.1 樣本選擇

本文以商業銀行OTC金融衍生品為研究對象，主要涉及商業銀行為客戶提供的金融產品，類型為固定收益的利率產品，論文數據選自某上市股份商業銀行與外資銀行共同經營的47個案例，經樣本篩選，取樣39個，其中Yield表示OTC金融衍生品當前收益率，T表示到期期限，Rank表示信用等級，Rate表示基準利率，SD表示啞元變量。具體數據見表1所示。

其中， t是迭代次數; w為慣性權值;r1，r2為介于[0，1]的隨機數以保持群體的多樣性;c1，c2為加速因子，表示粒子向自身或群體學習的能力．

2.2 模型構建和假設檢驗

本文推斷當期收益率和基準利率，期限，信用等級相關；又基準利率，信用等級本身與期限相關，基準利率變化又會影響信用等級。為了充分說明問題，本文從基本的金融理論出發，建立OTC金融衍生品定價模型，以OTC金融衍生品的當期收益率為被解釋變量，以期限與信用評級的乘積，信用評級與基準利率乘積，期限與基準利率的乘積，期限、基準利率與信用評級三者乘積為被解釋變量。考慮到結構化產品的不同品種，主要區分與利率區間掛鉤和非利率區間掛鉤的產品，引入啞元SD，定性SD取值1和0，利率區間掛鉤1，其他產品取值0。將簡單因子和復合因子代入定價模型，進行多元逐步線性回歸，從中檢驗復合模型的影響因素具體模型如式（8）：

表1 樣本明細表

論文使用SPSS統計軟件，經過3步迭代終止，最后得到模型摘要表2、系數表3及最終模型。

從表2可以看出模型3的VIF均小于10，而且在95%的置信度下，F檢驗和t檢驗都很顯著，說明模型3比較理想。于是最后的定價模型為：

3 敏感性分析

表2 模型摘要

3.1 單因素敏感性分析

由表3數據，本文有如下結論：

(1)SD是定序變量，它是用來區分產品的類別，是否與利率區間掛鉤，系數為正數1.557，說明與利率區間掛鉤的產品要求的收益率比其它產品要高，這是由產品的特性決定的。利率區間掛鉤的產品風險大，落在區間內有收益，落在區間外收益將會減少或為0。

表3 系數

(2)T和Rank控制不變，Rate增加一個單位，收益率Yield減少0.111*Rank個單位；T和Rank控制不變，Rate減少一個單位，收益率Yield增加0.111*Rank個單位；Rate是產品定價時事前參考的利率，當市場利率發生變化時，收益率將受到影響，呈反向變化。

(3)Rank和Rate控制不變，T增加一個單位，收益率Yield增加0.012*Rank個單位；Rank和Rate控制不變，T減少一個單位，收益率Yield減少0.012*Rank個單位；這說明產品期限與收益率呈相同方向變化，期限長要求的收益率就高。

(4)T和Rate控制不變，Rank增加一個等級，收益率Yield減少（0.012*T-0.111*Rate）個單位，而當T＞9.25*Rate時，收益率Yield增加，也就是期限比較長時，信用等級的增加會顯著影響結構產品的訂價，這也就是說，長期的產品相對信用風險比較大，自然要求的信用利差就比較高；T＜9.25*Rate時，收益率Yield減少，說明短期內信用等級增加并不能使收益率增加，相反，收益率比通常要求的要低，也就是說短期內結構化產品的信用風險相對比較小，信用利差也比較小。當然，一般情況下T都會大于9.25*Rate，由于期限和利率，收益率與信用等級呈非線性關系。

3.2 雙因素敏感性分析

通常外匯理財產品很多都是和利率區間掛鉤的，所以本文做分析用利率區間產品，而且期限很少變動，除非產品提前終止，所以文中只研究T不變情況下的雙因素敏感分析。分別取T為1個月，2個月，3個月，半年，1年，2年，3年，4年，5年時，以下各圖分別反映了收益率對基準利率和信用等級的關系。

圖1 收益率與基準利率和信用等級的關系圖（1個月）

圖2 收益率與基準利率和信用等級的關系圖（1年）

圖3 收益率與基準利率和信用等級的關系圖（2年）

圖4 收益率與基準利率和時間的關系圖（AA）

圖5 收益率與基準利率和時間的關系圖（A+）

圖6 收益率與基準利率和時間的關系圖（A-）

圖7 收益率與信用等級和時間的關系圖（25bp）

圖8 收益率與信用等級和時間的關系圖（100bp）

圖9 收益率與信用等級和時間的關系圖（200bp）

本文在對收益率與基準利率和信用等級的關系研究中，只給出到期期限為1月、1年、2年的關系圖，期限為2個月，3個月，半年，3年，4年，5年期的關系圖沒有一一呈現；在對收益率與基準利率和時間的關系的研究中，只給出信用級別為AA+、A+、A-的關系圖，對信用級別為AA、AA-、A的關系圖沒有呈現；在對收益率與信用等級和時間的關系的研究中，只給基準利率為200bp、100bp、25bp的關系圖，對基準利率為175bp、150bp、125bp、75bp、50bp的關系圖也沒有一一給出，但在總結一并陳述。

從以上各圖可看到同期限的產品，收益率隨著基準利率和信用等級的變動而變動的情況。當期限較短時，非線性情況很明顯，當期限1年以上時，漸漸線性的成分變的明顯。當產品的收益率小于同期市場利率時，產品不再有利可圖，所以產品面臨提前終止的風險，所以市場利率是這個模型的臨界點。

根據上述分析從中可以發現，OTC金融衍生品的利率產品的定價，基準利率是產品定價時事前參考的利率，當市場利率發生變化時，產品的收益率受到影響，呈反向變化。產品期限與收益率呈相同方向變化，期限長要求的收益率就高，當期限比較長時，信用等級的增加會顯著影響結構產品的定價，長期的產品相對信用風險比較大，信用利差比較高；短期內結構化產品的信用風險相對比較小，信用利差也比較小。由于期限和利率，收益率與信用等級呈非線性關系，信用等級本身與期限相關，基準利率變化又會影響信用等級。其中最重要的就是市場利率作為產品收益的參照值，當收益率小于市場利率時，一般產品會提前終止。

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