解二元一次方程組有妙招——設參消元法

何建興

摘要：本文結合例題介紹了解二元一次方程組的兩種解法，即直接求解和構造求解，旨在給學生學習帶來幫助。

關鍵詞：數學學習；二元一次方程組；直接求解；構造求解

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1992-7711（2014）01-0124

利用設參消元法來解二元一次方程組，很少有人注意到，其實，它是一個妙招。結合靈活運用代入消元法和加減消元法，妙上加妙。

解題之關鍵，在方程組中，選定一個二元一次方程ax+bx+c=0，將常數項c化整為零。構造成形如：a（x+m）=b（y+n） （m、n可為0），然后設參求解。

解法另辟蹊徑，避繁就簡，新穎獨特，廣開解題思路。不僅如此，而且更可貴的是利于開發智力，培養學生的創造性思維能力，大有裨益，值得提倡。

為了使同學們有規可循，易于掌握此法。本文所舉范例，重過程，少空話。以大家熟悉的九年義務教育三年制初中《代數》第一冊（下）2001年審定版教科書的例（習）題為例，用本法給予一題幾個優解。供大家品嘗回味，各有所得。

一、直接求解

例1解方程組（第24頁）

5（m-1）=2（n+3） ①2（m+1）=3（n-3） ②

解法1：由①設5（m -1）=2（m+3）=10k，則

m=2k+1， n=5k-3 ③

③代入②， 得2（2k+2）3（5k-6）.

解得k=2，代入③，得

m=5n=7

解法2： 方程①兩邊加上10，從而可設5（m+1）=2（n+8）=10k，則

m=2k-1，n=5k-8 ③

③代入②，得4k=3（5k-11），解得 k=3，代入③，得

m=5n=7

解法3：方程①兩邊減去20，從而可設5（m-5）=2（n-7）=10k，則m=2k+5，n=5k+7 ③

③代入②，得2（2k+6）=3（5k+4），顯見k=0，代入③，又顯見

m=5n=7

點評：由解法2與3，已經給我們一個啟示，由方程①還可以找到更多的解法。上述三種解法是優解。在求解中，找到k=0的解法是妙解。

二、構造求解

例2解方程組（第20頁例2）

3x+4y=16 ①5x-6y=33 ②

解法1：由①可設 3x=4（1-y）=12k，則

x=4k，y=4-3k， ③

③代入②，得20k-6（4-3k）=33

解得k=■，代入③，得

x=6 y=-■

解法2：因為16=12+4，由①可設3（x-4）=4（1-y）=12k，則

x=4k+4，y=1-3k ③

③代入②，得5（4k+4）-6（1-3k）=33，解得k=■，代入③，得

x=6 y=-■

解法3：由①兩邊減去18，可設3（x-6）=4（-■-y）=12k，則

x=4k+6，y=-■-3k， ③

③代入②，得5（4k+6）-6（-■-3k）=33，解得k=0，代入③，得

x=6 y=-■

解法4：由②易想到33=30+3，可設5（x-6）=6（y+■）=30，則

x=6k+6，y=5k-■ ③

③代入①，得3（6k+6）+4（5k-■）=16，解得k=0，代入③，得

x=6 y=-■

點評：此例所給方程組是一般形式，先構造后求解，是重點掌握。上述四種解法都是優解，特別是解法4更值得一提。

例3解方程組（第24頁）

■-■=0 ①■-■=■ ②

分析：一般地，結構復雜的方程組，先化簡，再求解。但是，化簡時要注意分寸。下面給予兩種巧妙解法。

解法1：把方程①的第二項移到右邊，然后兩邊減去1，得

■=■，設4（x-2）=3（y-2）=12k，則

x=3k+2， y=4k+2 ③

②化簡為3（x-3）-4（y-1）=1，將③代入，得

3（3k-1）-4（4k-1）=1解得k=0，代入③，得

x=2 y=2

解法2：因為■=■-■，②化簡為■=■，設3（x-2）=4（y-2）=12k，則

x=4k+2，y=3k+2 ③

①化簡為4（x+1）=3（y+2），將③代入，得

4（4k+3）=3（3k+4），解得k=0，代入③，得

x=2 y=2

點評：把方程組化簡為一般式，然后求解。留給讀者試一試。

例4. 解方程組（第34頁）

4x+7y=222 ①5x+6y=217 ②

解法1：因為222=12+210，由①設4（x-3）=7（30 -y）=28k，則

x=7k+3，y=30 -4k ③

③代入②，得5（7k+3）+6（30-4k）=217，解得k=2，代入③，得

x=17y=22

解法2：①-②，得-x+y=5，可設 x+5=y=k，則

x=k-5，y=k ③

③代入①，得4（k-5）+7k=222，解得k=22，代入③，得

x=17y=22

點評：此例未知數項的系數與常數項的數字都比較大，且相關項的系數也沒有倍數關系。顯然用兩種常規解法是瑣碎的。上述兩種解法都是優解。特別是解法2，簡明精巧。

（作者單位：廣西崇左市扶綏縣龍頭中學 532101）