凸函數在一些證明題中的應用

尹紅然

（天津天獅學院 公共基礎教學部，天津 301700）

凸函數在一些證明題中的應用

尹紅然

（天津天獅學院 公共基礎教學部，天津 301700）

本文介紹凸函數在證明詹森（Jensen）不等式、霍爾得（Holder）不等式、閔可夫斯基（Minkowski）不等式、哈達馬（Hadamard）定理的簡單應用。

凸函數；不等式；Jensen不等式

凸函數是高等數學及數學分析中的一個重要概念。凸函數本身有著許多很好的性質，掌握和利用好這些性質，能是一些較復雜的問題簡單化。本文通過幾個實例來說明凸函數在數學分析的一些證明題種的應用。凸函數的定義在不同版本定義有差別，本文采用的定義1：設f（x）在區間I上有定義，f（x）在I上稱為凸函數，當且僅當：?x1，x2∈I，?λ∈（0，1）有f（λx1+（1-λ）x2）≤λf（x1）+（1-λ）f（x2）.

一、利用凸函數證明詹森（Jensen）不等式

若f（x）為區間I上的凸函數，則對任意

證：應用數學歸納法.當n=2時，由定義1命題顯然成立。

這就證明了對任何正整數n（≥2），凸函數f（x）f總有不等式（1）成立。

二、利用凸函數證明霍爾得（Holder）不等式

由Jensen不等式知（4）式成立，從而結論成立。

三、閔可夫斯基（Minkowski）不等式

此不等號利用Holder不等式

此不等式又稱為距離不等式.當p=2，n=3時此式表示三角形中任意一邊小于另兩邊之和，此又稱三角不等式。

四、利用凸函數證明哈達馬（Hadamard）定理

設f（x）為區間[a，b]上的連續凸函數.試證：?x1，x2∈[a，b]，x1＜x2，有

值得注意的是Hadamard定理的幾何意義非常明顯：當f（x）＞0時，曲線f（x）在[x1，x2]上的面積，不小于過點的任一直線在[x1，x2]的面積，不大于點（x1，f（x1））與點（x2，f（x2））間的弦在[x1，x2]的面積。

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G642.41

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1674-9324（2014）04-0117-02

尹紅然（1982-），女，河北邢臺人，碩士，講師，主要從事張量分析研究。