漸開線直齒圓柱齒輪模態分析研究

羅云松

（中鐵四局集團 鋼結構有限公司，安徽 合肥 230023）

0 引言

漸開線直齒圓柱齒輪廣泛應用于各種機器傳動，在工作時，齒輪的工作狀態是動態的。 在外部和內部的激勵下將發生共振，產生較大的振動和噪聲，過早地出現扭轉和彎曲疲勞，影響其動態性能，所以在齒輪設計初期，應充分考慮到其固有頻率，盡可能地避免接近其工作頻率。 本文通過建立漸開線直齒圓柱齒輪模型，利用計算機仿真技術計算其各階模態，為齒輪機構的動態設計與優化分析提供理論依據與技術支持。

1 模態分析理論

由模態分析理論基礎，可得齒輪系統的運動微分方程為：

式中：[M]，[C]，[K]——齒輪的質量矩陣，阻尼矩陣，剛度矩陣；

{x¨}，{x˙}，{x}——齒輪的振動加速度向量，速度向量，位移向量；

{F（t）}——外界的激勵向量。

略去阻尼項并令外加激勵項為零，即{F（t）}=0 時，可得無阻尼自由振動運動微分方程為：[M]{x¨}+[K]{x}={F（t）}=0，其對應的特征方程為：

式中：ωi——系統第i 階模態固有頻率，i=1,2,3…， 此時的振動系統一般存在n 個固有頻率和n 個振型，每一個固有頻率和振型都代表一個單自由度系統的自由振動，而多自由度振動是n 個單自由度模態振動的線性疊加，是一種合成振動。其中低階振型對結構的影響最大，即階數越低，系統的影響越大。 本文選取某機器齒輪傳動系統中漸開線圓柱直齒輪，對其前6 階模態進行分析與研究。

2 漸開線齒輪實體模型的建立

利用Pro-E 強大的建模軟件， 對該漸開線齒輪進行三維實體建模。 齒輪結構參數：齒數Z=40，模數m=2mm，壓力角 α=20°，齒寬 b=20mm，輪轂孔徑Φ=20mm；物理參數：齒輪材料選用中碳鋼，其彈性模量設置 E=2.06×105MPa，泊松比 μ=0.27。 漸開線直齒圓柱齒輪實體模型如圖1 所示。

圖1 漸開線直齒圓柱齒輪實體模型

3 漸開線齒輪有限元模態分析

利用Pro-E 自帶的有限元分析插件Pro/Mechanica 進行分析。 對于模態分析，根據模態分析理論，求齒輪的各階固有頻率及其對應的主振型，只要對其進行自由度約束，不需要對模型進行加載。約束條件在這里設置為齒輪輪轂孔徑和鍵槽表面全約束。采用Pro/MECHANICA自帶模式下的網格劃分器自動劃分。 結果為：Points：2056，Edges：9661，Faces： 13440，Solids： 5835。 漸開線直齒圓柱齒輪有限元模型如圖2 所示，運行模態分析模塊，計算前6 階的固有振型的云圖結果如圖3 所示。

圖2 漸開線直齒圓柱齒輪有限元模型

圖3 漸開線直齒圓柱齒輪的各階振型

表1 漸開線直齒圓柱齒輪各階振動頻率

從圖中可以看出，漸開線齒輪的主要振動為端面上的對折振動和扭轉振動。 各模態振型不同在于輪齒的圓周振動方向不同。

4 結論

利用Pro-E 三維建模軟件建立了漸開線直齒圓柱齒輪實體模型，運用Pro-E 自帶的有限元分析插件Pro/Mechanica 進行了仿真計算，得到了齒輪的有限元模型，通過模態分析，求解了漸開線直齒圓柱齒輪的前6 階固有頻率及對應的主振型，通過結果可以直觀發現各個振型的劇烈特征，因而在齒輪系統的設計中要盡可能地避免齒輪的低階固有頻率，以此可降低齒輪機構在運行中由于振動破壞而發生的故障率。

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