概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)案例教學(xué)與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)初探

黃曉梅

(江西師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，江西 南昌330022)

0 前言

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)是研究隨機(jī)現(xiàn)象及其統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的一門學(xué)科，由于其廣泛地滲透到計(jì)算機(jī)、生物、醫(yī)學(xué)、工業(yè)工程、金融以及自然科學(xué)等各領(lǐng)域，是應(yīng)用性和實(shí)踐性很強(qiáng)的一門學(xué)科。因此，該門課程的教學(xué)在培養(yǎng)學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)，特別是用數(shù)學(xué)的能力上具有得天獨(dú)厚的優(yōu)勢(shì)。

傳統(tǒng)上該課程的教學(xué)側(cè)重于抽象的理論介紹，強(qiáng)調(diào)理論的系統(tǒng)性和繁瑣的計(jì)算，教材上的例子多介紹較為抽象的應(yīng)用，對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用前景泛泛而談，這樣導(dǎo)致學(xué)生學(xué)習(xí)停留在紙上談兵，不知道學(xué)了有什么用處，從而逐漸失去學(xué)習(xí)的興趣。 案例教學(xué)方法的引入則有利于彌補(bǔ)上述不足。 案例教學(xué)是指以基于實(shí)際問(wèn)題背景的、與理論知識(shí)緊密結(jié)合的案例作為內(nèi)容載體，通過(guò)教師展示案例、組織學(xué)生討論案例，教師歸納提煉，學(xué)生最后演繹并策劃出解決問(wèn)題的方案及提出新的問(wèn)題等教學(xué)程序來(lái)實(shí)現(xiàn)教學(xué)目的的一種教學(xué)方式。 通過(guò)案例教學(xué)，能夠突出相關(guān)概念的聯(lián)系， 加強(qiáng)學(xué)生對(duì)基本概念和基本知識(shí)的理解，更重要的是，這種方式有利于使學(xué)生深刻領(lǐng)會(huì)學(xué)習(xí)該門課程的真正目的和用途，有利于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，并培養(yǎng)學(xué)生綜合運(yùn)用概率統(tǒng)計(jì)思想與方法分析并解決實(shí)際問(wèn)題的能力。 另一方面，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是一種信息技術(shù)日漸普及的背景下出現(xiàn)的現(xiàn)代數(shù)學(xué)教學(xué)模式,它是以計(jì)算機(jī)為儀器,以軟件為載體,強(qiáng)調(diào)的是以學(xué)生動(dòng)手為主,利用數(shù)學(xué)知識(shí)分析解決一些實(shí)際問(wèn)題。它的引入，有利于提高學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的趣味性、體現(xiàn)數(shù)學(xué)教育的時(shí)代性， 有利于學(xué)生學(xué)會(huì)使用計(jì)算機(jī)解決實(shí)際問(wèn)題。本文給出一個(gè)引入了數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的教學(xué)案例，通過(guò)該案例能夠加深學(xué)生對(duì)隨機(jī)變量的期望和方差概念的理解， 了解其在實(shí)際生活中的使用，同時(shí)通過(guò)上機(jī)操作了解MATLAB 數(shù)學(xué)軟件在解決實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用。

1 問(wèn)題的提出

以前，SONY 牌彩電有兩個(gè)產(chǎn)地：日本與美國(guó)。 兩地的工廠是按同一設(shè)計(jì)方案和相同的生產(chǎn)線生產(chǎn)同一牌號(hào)SONY 電視機(jī)，連使用說(shuō)明書和檢驗(yàn)合格的標(biāo)準(zhǔn)都是相同的。 譬如彩電的彩色濃度Y 的目標(biāo)值為m，標(biāo)準(zhǔn)差(允許的波動(dòng))為5，當(dāng)Y 在范圍[m-5,m+5]內(nèi)該彩電的彩色濃度為合格，否則判為不合格。

兩地產(chǎn)的SONY 牌彩電在美國(guó)市場(chǎng)上都能買到，到20 世紀(jì)70 年代后期，美國(guó)消費(fèi)者購(gòu)買日本產(chǎn)的SONY 彩電的熱情高于購(gòu)買美國(guó)產(chǎn)的SONY 彩電。 這是什么原因呢？ 1979 年4 月17 日日本《朝日新聞》刊登了這一問(wèn)題的調(diào)查報(bào)告，報(bào)告指出：日產(chǎn)的彩色濃度服從正態(tài)分布N(m,(5/3)2)，而美產(chǎn)的彩色濃度服從均勻分布U(m-5,m+5).這兩個(gè)不同的分布表示著兩個(gè)不同的總體。這兩個(gè)總體的均值相同，都為m，但方差不同。 試計(jì)算各自的方差，并做出相應(yīng)的解釋。

2 問(wèn)題的分析

方差是反映隨機(jī)變量取值的集中程度和波動(dòng)劇烈程度的數(shù)字特征。可以通過(guò)求隨機(jī)變量的方差，相應(yīng)進(jìn)行比較，判斷兩組或多組數(shù)據(jù)的穩(wěn)定情況。 隨機(jī)變量的方差在質(zhì)量控制方面有著重要的應(yīng)用。 方差越小，質(zhì)量越穩(wěn)定。

設(shè)日產(chǎn)電視機(jī)的彩色濃度為Y1, 美產(chǎn)電視機(jī)的彩色濃度為Y2，由上述調(diào)查報(bào)告可知 Y1~N（m,（5/3）2），Y2～U（m-5，m+5）,其概率密度曲線見圖1，其表達(dá)式如下：

他們的方差及標(biāo)準(zhǔn)差如下：

可見，日產(chǎn)電視機(jī)彩色濃度方差小于美產(chǎn)的彩色濃度的方差。

如果規(guī)定彩色濃度在 （m-σ （Y1），m+σ （Y1）） 內(nèi)為Ⅰ等品，在內(nèi) 為 Ⅱ 等 品 ， 在內(nèi)為Ⅲ等品，在內(nèi)為Ⅳ等品。 則日產(chǎn)各等級(jí)彩電的概率如下：

日產(chǎn)Ⅰ等品概率：P11=2?（1）-1=0.6826，

日產(chǎn)Ⅱ等品概率：P12=2?（2）-?（1）=0.2718，

日產(chǎn)Ⅲ等品概率：P13=2?（3）-?（2）=0.043，日產(chǎn)Ⅳ等品概率：P14=1-0.6826-0.2718-0.043=0.0026。

美產(chǎn)各等級(jí)彩電的概率如下：

美產(chǎn)Ⅰ等品概率：P21=2σ（Y1）/10=1/3，

美產(chǎn)Ⅱ等品概率：P22=1/3，

美產(chǎn)Ⅲ等品的概率：P23=2σ（Y1）/10=1/3，

美產(chǎn)Ⅳ等品的概率：P24=0。

美產(chǎn)與日產(chǎn)各等級(jí)彩電的比率見表1

表1 各等級(jí)彩電的概率

從上述計(jì)算結(jié)果可見， 生產(chǎn)出日產(chǎn)SONYⅠ等品概率是美產(chǎn)SONY 的兩倍左右，這就是美國(guó)消費(fèi)者樂(lè)于購(gòu)買日產(chǎn)SONY 的主要原因。

為什么兩個(gè)工廠按同一個(gè)設(shè)計(jì)方案、 相同設(shè)備生產(chǎn)同一種電視機(jī)，其彩色濃度會(huì)有不同的分布呢？關(guān)鍵在于管理者，美國(guó)生產(chǎn)廠的管理者按彩色濃度合格范圍U(m-5,m+5)要求操作。 在他看來(lái)，只要彩色濃度落在此范圍內(nèi)，不論它在區(qū)間的什么位置都認(rèn)為合格，因而造成彩色濃度落在這個(gè)區(qū)間內(nèi)任一相同長(zhǎng)度小區(qū)間內(nèi)的機(jī)會(huì)是相同的，從而形成均勻分布；但日產(chǎn)SONY 的管理者認(rèn)為彩色濃度的最佳位置在m 上，它要求操作者把彩色濃度盡量向m 靠近，這樣，彩色濃度在m周圍的機(jī)會(huì)就多， 而遠(yuǎn)離m 的機(jī)會(huì)就少， 最后導(dǎo)致服從正態(tài)分布N（m，（5/3）2）。可見正是管理上對(duì)彩色濃度要求的嚴(yán)格程度的不同，導(dǎo)致在相同生產(chǎn)條件下生產(chǎn)出的Ⅰ等品概率不同。

3 MATLAB 實(shí)驗(yàn)

上述結(jié)果可以通過(guò) MATLAB 計(jì)算、畫圖觀察。 假設(shè) Y1~N（0，（5/3）2），Y2~U（-5，+5）。

syms y1 y2

vary1=(5/3)^2;sigy1=5/3;

vary2=10^2/12;sigy2=sqrt(vary2);

normspec([-sigy1,sigy1],0,sigy1);hold on

plot([-5：0.05：5],1/10,'r')

作出的圖形為圖1。 圖中藍(lán)線表示日產(chǎn)彩電彩色濃度的概率密度曲線，紅線表示美產(chǎn)的概率密度曲線。 其中藍(lán)色陰影部分表示了日產(chǎn)彩電Ⅰ等品的概率為0.6829，而紅線以下的陰影部分則表示美產(chǎn)Ⅰ等品的概率，可以看出，在Ⅰ等品概率上日產(chǎn)SONY 是美產(chǎn)SONY 的兩倍左右。

圖1 色彩濃度概率密度曲線圖

4 思考及總結(jié)

本文通過(guò)一個(gè)實(shí)際的例子初步探索了概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程中綜合運(yùn)用案例教學(xué)與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的教學(xué)方法。 通過(guò)該例子的運(yùn)用，加深了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)期望和方差概念的理解，了解了這些概念在實(shí)際生活中的應(yīng)用，強(qiáng)化了常見概率分布類型的概率計(jì)算能力，同時(shí)初步了解了MATLAB 軟件在模擬仿真中的應(yīng)用。案例教學(xué)與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)方法的綜合運(yùn)用，既激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，使其在理論聯(lián)系實(shí)際的過(guò)程中體會(huì)到數(shù)學(xué)工具的價(jià)值和作用，同時(shí)又培養(yǎng)了學(xué)生使用計(jì)算機(jī)解決實(shí)際問(wèn)題的能力。 由此可見，案例教學(xué)與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的教學(xué)方法對(duì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程來(lái)說(shuō)是一種有益且必要的補(bǔ)充。如何將理論與實(shí)際聯(lián)系起來(lái)，尋找并設(shè)計(jì)出適合課堂教學(xué)的好的案例，需要教師在日常教學(xué)生活中不斷探索，不斷積累，推陳出新。

［1］李興東，張正成.《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》課程中加強(qiáng)案例教學(xué)的探討[J].數(shù)學(xué)教學(xué)研究，2012（4）：54-57.

［2］郭科.數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)分冊(cè)[M].北京：高等教育出版社，2009.