概率論與數理統計案例教學與數學實驗初探

黃曉梅

(江西師范大學 數學與信息科學學院，江西 南昌330022)

0 前言

概率論與數理統計是研究隨機現象及其統計規律性的一門學科，由于其廣泛地滲透到計算機、生物、醫學、工業工程、金融以及自然科學等各領域，是應用性和實踐性很強的一門學科。因此，該門課程的教學在培養學生學數學，特別是用數學的能力上具有得天獨厚的優勢。

傳統上該課程的教學側重于抽象的理論介紹，強調理論的系統性和繁瑣的計算，教材上的例子多介紹較為抽象的應用，對數學知識的應用前景泛泛而談，這樣導致學生學習停留在紙上談兵，不知道學了有什么用處，從而逐漸失去學習的興趣。 案例教學方法的引入則有利于彌補上述不足。 案例教學是指以基于實際問題背景的、與理論知識緊密結合的案例作為內容載體，通過教師展示案例、組織學生討論案例，教師歸納提煉，學生最后演繹并策劃出解決問題的方案及提出新的問題等教學程序來實現教學目的的一種教學方式。 通過案例教學，能夠突出相關概念的聯系， 加強學生對基本概念和基本知識的理解，更重要的是，這種方式有利于使學生深刻領會學習該門課程的真正目的和用途，有利于激發學生的學習興趣，并培養學生綜合運用概率統計思想與方法分析并解決實際問題的能力。 另一方面，數學實驗是一種信息技術日漸普及的背景下出現的現代數學教學模式,它是以計算機為儀器,以軟件為載體,強調的是以學生動手為主,利用數學知識分析解決一些實際問題。它的引入，有利于提高學生數學學習的趣味性、體現數學教育的時代性， 有利于學生學會使用計算機解決實際問題。本文給出一個引入了數學實驗的教學案例，通過該案例能夠加深學生對隨機變量的期望和方差概念的理解， 了解其在實際生活中的使用，同時通過上機操作了解MATLAB 數學軟件在解決實際問題中的應用。

1 問題的提出

以前，SONY 牌彩電有兩個產地：日本與美國。 兩地的工廠是按同一設計方案和相同的生產線生產同一牌號SONY 電視機，連使用說明書和檢驗合格的標準都是相同的。 譬如彩電的彩色濃度Y 的目標值為m，標準差(允許的波動)為5，當Y 在范圍[m-5,m+5]內該彩電的彩色濃度為合格，否則判為不合格。

兩地產的SONY 牌彩電在美國市場上都能買到，到20 世紀70 年代后期，美國消費者購買日本產的SONY 彩電的熱情高于購買美國產的SONY 彩電。 這是什么原因呢？ 1979 年4 月17 日日本《朝日新聞》刊登了這一問題的調查報告，報告指出：日產的彩色濃度服從正態分布N(m,(5/3)2)，而美產的彩色濃度服從均勻分布U(m-5,m+5).這兩個不同的分布表示著兩個不同的總體。這兩個總體的均值相同，都為m，但方差不同。 試計算各自的方差，并做出相應的解釋。

2 問題的分析

方差是反映隨機變量取值的集中程度和波動劇烈程度的數字特征。可以通過求隨機變量的方差，相應進行比較，判斷兩組或多組數據的穩定情況。 隨機變量的方差在質量控制方面有著重要的應用。 方差越小，質量越穩定。

設日產電視機的彩色濃度為Y1, 美產電視機的彩色濃度為Y2，由上述調查報告可知 Y1~N（m,（5/3）2），Y2～U（m-5，m+5）,其概率密度曲線見圖1，其表達式如下：

他們的方差及標準差如下：

可見，日產電視機彩色濃度方差小于美產的彩色濃度的方差。

如果規定彩色濃度在 （m-σ （Y1），m+σ （Y1）） 內為Ⅰ等品，在內 為 Ⅱ 等 品 ， 在內為Ⅲ等品，在內為Ⅳ等品。 則日產各等級彩電的概率如下：

日產Ⅰ等品概率：P11=2?（1）-1=0.6826，

日產Ⅱ等品概率：P12=2?（2）-?（1）=0.2718，

日產Ⅲ等品概率：P13=2?（3）-?（2）=0.043，日產Ⅳ等品概率：P14=1-0.6826-0.2718-0.043=0.0026。

美產各等級彩電的概率如下：

美產Ⅰ等品概率：P21=2σ（Y1）/10=1/3，

美產Ⅱ等品概率：P22=1/3，

美產Ⅲ等品的概率：P23=2σ（Y1）/10=1/3，

美產Ⅳ等品的概率：P24=0。

美產與日產各等級彩電的比率見表1

表1 各等級彩電的概率

從上述計算結果可見， 生產出日產SONYⅠ等品概率是美產SONY 的兩倍左右，這就是美國消費者樂于購買日產SONY 的主要原因。

為什么兩個工廠按同一個設計方案、 相同設備生產同一種電視機，其彩色濃度會有不同的分布呢？關鍵在于管理者，美國生產廠的管理者按彩色濃度合格范圍U(m-5,m+5)要求操作。 在他看來，只要彩色濃度落在此范圍內，不論它在區間的什么位置都認為合格，因而造成彩色濃度落在這個區間內任一相同長度小區間內的機會是相同的，從而形成均勻分布；但日產SONY 的管理者認為彩色濃度的最佳位置在m 上，它要求操作者把彩色濃度盡量向m 靠近，這樣，彩色濃度在m周圍的機會就多， 而遠離m 的機會就少， 最后導致服從正態分布N（m，（5/3）2）。可見正是管理上對彩色濃度要求的嚴格程度的不同，導致在相同生產條件下生產出的Ⅰ等品概率不同。

3 MATLAB 實驗

上述結果可以通過 MATLAB 計算、畫圖觀察。 假設 Y1~N（0，（5/3）2），Y2~U（-5，+5）。

syms y1 y2

vary1=(5/3)^2;sigy1=5/3;

vary2=10^2/12;sigy2=sqrt(vary2);

normspec([-sigy1,sigy1],0,sigy1);hold on

plot([-5：0.05：5],1/10,'r')

作出的圖形為圖1。 圖中藍線表示日產彩電彩色濃度的概率密度曲線，紅線表示美產的概率密度曲線。 其中藍色陰影部分表示了日產彩電Ⅰ等品的概率為0.6829，而紅線以下的陰影部分則表示美產Ⅰ等品的概率，可以看出，在Ⅰ等品概率上日產SONY 是美產SONY 的兩倍左右。

圖1 色彩濃度概率密度曲線圖

4 思考及總結

本文通過一個實際的例子初步探索了概率論與數理統計課程中綜合運用案例教學與數學實驗的教學方法。 通過該例子的運用，加深了學生對數學期望和方差概念的理解，了解了這些概念在實際生活中的應用，強化了常見概率分布類型的概率計算能力，同時初步了解了MATLAB 軟件在模擬仿真中的應用。案例教學與數學實驗方法的綜合運用，既激發了學生的學習興趣，使其在理論聯系實際的過程中體會到數學工具的價值和作用，同時又培養了學生使用計算機解決實際問題的能力。 由此可見，案例教學與數學實驗的教學方法對概率論與數理統計課程來說是一種有益且必要的補充。如何將理論與實際聯系起來，尋找并設計出適合課堂教學的好的案例，需要教師在日常教學生活中不斷探索，不斷積累，推陳出新。

［1］李興東，張正成.《概率論與數理統計》課程中加強案例教學的探討[J].數學教學研究，2012（4）：54-57.

［2］郭科.數學實驗概率論與數理統計分冊[M].北京：高等教育出版社，2009.