對一道課本習題的思索

2014-02-26 06:51:28俞相順

教育觀察 2014年35期

俞相順

(南京市溧水區石湫中學，江蘇南京，211222)

一、例題

在九年級數學的教學中有這樣一道題：如圖1，在直角梯形ABCD中，∠B=∠C=90°，E是BC的中點，DE平分∠ADC，求證：AE平分∠BAD。此題可以用多種方法證明。

圖1

(一)證法一，如圖1

作EF⊥AD，垂足為F

∵EC⊥CD，EF⊥AD

DE平分∠ADC

∴EC=EF

又∵E是BC的中點，EB=EC

∴EB=EF，且EF⊥AD，EB⊥AB

∴ 點E在∠BAD的平分線上

即AE平分∠BAD

圖2

(二)證法二，如圖2

延長DE與AB的延長線交于點F

∵EC=EB， ∠C=∠EBF=90°， ∠1=∠2

∴ △ECD≌△EBF

∴ED=EF， ∠3=∠4

又∵ ∠3=∠5

∴ ∠4=∠5

∴ △ADF為等腰三角形，且AE是底邊上的中線

∴AE平分∠BAD

圖3

(3)證法三，如圖3

作EF∥AB

∵E是BC中點

∴F是AD中點

∵ ∠1=∠2，∠1=∠3

∴ ∠2=∠3

∴DF=EF=AF

∴ ∠4=∠5

又∵ ∠4=∠6

∴ ∠5=∠6，即AE平分∠BAD

二、條件與結論的變式

初做此題，并未多想，只是覺得它是一道很普通的一題多解題。但在以后的教學中發現這個基本圖形經常出現，這引起了筆者進一步思考。

(一)結論變式

不難發現此題還有AE⊥DE，AD=AB+CD這兩個結論。在解完此題后對這兩個結論的證明應該很容易了。

(二)條件變式

如果把題中的直角梯形換成一般梯形，問題還能解決嗎？上面的兩個結論還能成立嗎？仔細思考，會發現兩個結論仍然成立，只不過證明時，不能用證法一來證明。

(三)條件和結論互換變式

又經過一番思考，筆者有了一個猜想，對于此題中的五個條件(或結論)，即EC=EB，DE平分∠ADC，AE平分∠BAD，AE⊥DE，AD=AB+CD，只要知道了其中兩個就可以用來證明其他三個，于是又有了以下變式。

圖4

變式一：如圖4，在梯形ABCD中，AB∥CD，E是BC上一點，且DE、AF分別平分∠BAD、∠CDA。求證：①AE⊥DE；②E是BC中點；③AD=AB+CD。

變式二：如圖4，在梯形ABCD中，AB∥CD，E是BC上中點，且AE⊥DE。求證：①DE、AF分別平分∠BAD、∠CDA；②AD=AB+CD。

變式三：如圖4，在梯形ABCD中，AB∥CD，E是BC上中點，AD=AB+CD。求證：①AE⊥DE；②DE、AF分別平分∠BAD、∠CDA。

變式四：如圖4，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=AB+CD，且DE平分∠CDA。求證：①AE⊥DE；②AF平分∠BAD；③E是BC中點。

變式五：如圖4，在梯形ABCD中，E是BC上的一點，AD=AB+CD，且AE⊥DE。求證：①E是BC中點；②DE、AF分別平分∠BAD、∠CDA。

對以上變式，經過論證，意外地發現前四個變式都可以證明出來，而只有變式五無法證明。所用的證明方法就是前面證法的一些逆向思維。

三、進一步思考

從這道題的一系列變式中可以發現我們運用了許多知識，同時也可以歸納出一些方法，找到題目中一些規律性的結論，可是仍有一個變式不能證明。再回到原題，筆者又想到了這樣一個問題，即在滿足條件“一腰等于兩底和”的梯形中，另一腰的中點與前腰兩端點的連線互相垂直且分別平分兩個底角，在這樣的梯形中，這幾個關系應達到一種和諧的統一。但為什么變式五無法證明呢？把原來直角梯形這一條件加上去呢？

已知：如圖5，在直角梯形ABCD中，∠B=∠C=90°，E是BC上一點，AD=AB+CD，且DE⊥AE，求證：E是BC中點，DE平分∠CDA。

分析：此題用“同一法”可以證明。

取AD中點F，過F作FG⊥CB，垂足為G，連接EF

∴GF=1/2(AB+CD)=1/2AD