高應變率下彈道明膠的本構模型研究

溫垚珂，徐誠，陳愛軍

(1.南京理工大學 機械工程學院，江蘇 南京210094;2.南京理工大學 理學院，江蘇 南京210094)

0 引言

彈道明膠被廣泛應用于槍彈和破片終點效應的實驗研究中。它是由明膠粉末和水按一定比例混合后經特殊工藝制成的一種物理響應類似肌肉的高分子材料［1］。彈道明膠按所含明膠質量百分比分為10%和20%兩種類型，其中質量分數10%的明膠由于與肌肉的性質更相近，因此在國內外終點效應的研究中應用更廣泛［2］。隨著有限元技術的快速發展，數值計算方法開始應用于終點效應的研究與評判中。要進行合理正確的數值分析，首先要了解彈道明膠的物理特性并采用合適的本構模型來描述其物理響應。

Cronin 等［2-4］、Salisbury 等［5］采用自制的實驗裝置對質量分數10%彈道明膠(下文統稱10%彈道明膠)從低應變率到高應變率(0.01 ～1 550 s-1)的應力應變響應進行了研究，實驗表明彈道明膠是一種對應變率和溫度較敏感的材料。Kwon 等［6］采用霍普金森壓桿實驗裝置得到了10%彈道明膠在應變率2 000 ～3 200 s-1下的應力應變曲線，但其結果與Cronin 等［2-4］、Salisbury 等［5］的不一致。Parker等［7］研究了溫度對10%彈道明膠物理性質的影響，實驗表明當溫度上升到30.5 ℃時明膠開始從凝膠轉化為溶膠，而當溫度降低到24.4 ℃時明膠開始從溶膠轉化為凝膠。同時，還給出了明膠體積聲速隨溫度的變化曲線。Nagayama 等［8］基于飛片實驗得到了10%明膠的Hugoniot 曲線，實驗表明彈道明膠質點速度與體積聲速在一定壓力范圍內存在近似線性關系，同時還給出了彈道明膠密度隨壓力的變化曲線。Appleby-Thomas 等［9］采用飛片實驗研究了質量分數25%的明膠、肥皂和豬油在高速沖擊下的力學特性，研究表明隨著應變率增加、25%的明膠呈現出流體彈塑性介質的性質，而肥皂和豬油則表現出明顯的應變率增強效應。文獻［10］采用布里淵光譜散射技術測量了不同壓力狀態(環境壓力到12 GPa的壓力)下彈道明膠體積聲速和泊松比的變化情況。實驗表明在一定壓力下10%彈道明膠的泊松比大約為0.37，而一些研究者在數值模擬中經常將明膠考慮為類似橡膠的不可壓縮材料(泊松比0.5)［3，11］。由于彈道明膠是一種高分子材料且較軟，對其物理參數的實驗測量技術還不夠成熟，已公開發表的實驗數據較少且存在不一致性，這給采用數值模擬技術進行終點效應研究帶來一定困難。

現有的材料模型只能描述彈道明膠在某一特定應變率范圍內的應力應變響應情況，根據研究問題不同，需要采用不同的本構模型。文獻［12］建立了ABS 塑料球以低速(小于160 m/s)侵徹明膠的2D模型，該模型采用ALE 算法，將明膠考慮為簡單彈性體，以拉伸極限應力作為明膠失效判斷準則。針對手槍彈侵徹明膠的問題，Datoc［13］采用LS-DYNA中的彈塑性模型和粘彈性模型分別模擬彈道明膠，對明膠采用不同材料本構的數值結果進行了對比分析。文獻［11］則采用LS-DYNA 中的不可壓縮橡膠模型來模擬彈道明膠在軟防護狀態下的物理響應。Cronin［3］認為考慮應變率效應的超彈性模型可以較好模擬彈道明膠在準靜態和中等應變率下的物理響應，但是文中沒有給出該模型在高應變率下的驗證結果。Minisi 等［14］開展了槍彈、球形破片侵徹明膠的數值研究工作，他們認為在高速侵徹下明膠可以看做流體，低速侵徹下明膠可以看做超彈性體，但是文獻中沒有給出具體的本構關系和材料參數。溫垚珂等［15-16］采用流體彈塑性模型對鋼球和步槍彈侵徹彈道明膠的過程進行了數值模擬，數值結果與實驗結果一致性較好。目前，彈道明膠在高速沖擊下的數值模擬問題還罕有文獻報道，主要是缺少高應變率下準確的材料參數和合適的本構模型。

本文在綜述彈道明膠物理性能的基礎上，對用于模擬彈道明膠的兩種不同本構模型(應變率相關的超彈性模型和流體彈塑性模型)進行了深入分析，并得到了10%彈道明膠的狀態方程系數。基于球形殺傷元高速侵徹彈道明膠的實驗研究，對比了兩種不同材料模型所得數值結果與實驗結果的一致性;認為在高應變率下流體彈塑性模型能更好地模擬破片與明膠的相互作用過程。

1 彈道明膠本構模型

1.1 應變率相關的超彈性模型

結合相關實驗得知，彈道明膠具有較敏感的應變率效應，且在準靜態和中等應變率下可以考慮為類似橡膠的不可壓縮材料。而LS-DYNA 中的181 號材料模型(MAT_SIMPLIFIED_ RUBBER/FOAM)正是用以描述這類性質的較理想本構模型［17］。

該模型采用Ogden 應變能形式，即以主伸長率來表示應變能函數［18-20］:

式中:μj和αj為材料常數;K 為體積模量;J 為壓縮體積比;λ*i=λiJ-1/3，λi為主伸長率。由此得到主真實應力的表達式:

定義函數:

則主真實應力的表達式可以寫成如下形式:

同時，該模型可以將不同應變率下的單軸測試拉壓數據直接用于本構模型。采用線性插值的方法得到實驗應變率范圍內任意應變率下的應力應變響應［19-20］。圖1為實驗得到的10%彈道明膠在不同壓縮應變率下的真實應力應變曲線［5］。由于明膠的拉伸實驗技術還不夠成熟，有關10%彈道明膠拉伸性質的文獻未見公開報道，因此假設明膠在拉伸和壓縮狀態下具有相同的性質［3］。

圖1 10%彈道明膠在不同應變率下的真實應力應變曲線Fig.1 True stress-strain curves of 10% ballistic gelatin at different strain rates

基于Feng 和Hallquist［21］提出的失效準則如(5)式所示，該材料模型還可以模擬材料的失效過程。

式中:I1、I2、I3為右Cauchy-Green 變形張量的3 個不變量，對于不可壓縮材料I3=1;A、B、C 為由實驗測得的材料常數。模型中通過損傷因子D 來考慮材料的應力衰減行為，D 的計算方法如(6)式所示。當D=1 時材料完全失效［17］。針對10%彈道明膠，Cronin［3］提出可以將(5)式簡化為(7)式的形式，并基于實驗數據得到C =5.7，h =0.2. (6)式中，h 用來判斷材料何時開始失效。

式中:

1.2 流體彈塑性模型

固體在動態較高壓力下可以采用流體彈塑性模型來描述［17］。該模型不考慮應變率效應，但是結合狀態方程可以考慮彈道明膠可壓縮性的影響。流體彈塑性模型綜合考慮了材料強度效應和可壓縮效應，把變形視為形狀變形和體積變形兩部分之和。形狀變形部分用小彈塑性本構方程描寫，而體積變形部分用線性多項式狀態方程描寫［22-23］。

式中:σij為總應力張量;p 為靜水壓力;δij為單位張量;sij為應力偏張量;μ =ρ/ρ0-1，ρ 和ρ0分別為現時密度和初始密度;C0、C1、C2和C3為材料常數，需要經過實驗測定和一定的理論推導才能得到。

Wilbeck［24］基于沖擊波陣面上的質量、動量和能量守恒條件，推導出面后壓力與密度存在如下關系:

式中:η=1 -ρ0/ρ =μ/(1 +μ);c0為體積聲速;k 為材料常速。c0和k 均需要通過實驗測定。Nagayama等［8］通過實驗得到了10%彈道明膠的Hugoniot 曲線，他們認為沖擊波速us和質點速度vp之間存在如下線性關系:

式中:c0=1 520 m/s;k=2.

(10)式可以改寫為如下的展開式:

當μ 的范圍不是很大的時候，(12)式一般采用(9)式的近似表達形式。其中C0在初始壓力平衡時取0;C1=ρ0c20為體積模量;C2=(2k -1)C1;C3=(k-1)(3k-1)C1. 由此可以確定10%彈道明膠的狀態方程系數如表1所示。

表1 10%彈道明膠狀態方程系數Tab.1 The equation of state of ballistic gelatin

2 實驗研究

實驗數據可以檢驗數值方法的可行性與準確性，同時對實驗現象觀察及分析有助于建立正確合理的數值模型。本文采用彈道槍以不同初速(700 ～1 000 m/s)發射直徑4.8 mm 的鋼球射擊10%彈道明膠(長× 寬× 高= 33 cm × 20 cm ×25 cm)，彈道方向為明膠長度方向;光電靶測速系統記錄鋼球侵入明膠前的速度;高速攝影系統記錄鋼球在明膠中的運動過程及明膠中的空腔變化情況。如圖2所示。

圖2 實驗裝置示意圖Fig.2 Schematic diagram of experimental setup

實驗中觀察到的主要現象為明膠中空腔的膨脹、收縮及脈動。觀察實驗后的鋼球，發現無明顯變形。因此可以考慮在數值模擬中采用剛體模型來模擬鋼球，以提高運算速度。從表2中可以看到，兩組入射速度下的實驗結果一致性較好。該彈道明膠的彈道極限速度大約為730 m/s. 通過對高速攝影結果的后處理，還可以得到侵徹過程中鋼球的速度衰減曲線及空腔膨脹周期等數據。

表2 φ4.8 mm 鋼球以不同速度侵徹彈道明膠的實驗結果Tab.2 Experimental results of φ4.8 mm steel sphere penetrating into ballistic gelatin at different velocities

3 數值結果與實驗對比

3.1 有限元模型

建立與實驗對應的有限元求解模型，考慮到對稱性及求解效率，只需建立1/4 模型。數值模型采用Lagrange 算法，全部用Solid164 實體單元建立，在鋼球與明膠之間采用面面侵蝕接觸算法。進行網格劃分時，如圖3所示，鋼球與明膠的直接接觸區及附近劃分較密的網格，遠離彈道的區域網格尺寸逐漸增大。鋼球采用剛體模型(MAT_RIGID)，設定入射速度分別為721 m/s 和948 m/s. 明膠分別采用考慮應變率效應的超彈性本構和考慮可壓縮性的流體彈塑性本構來模擬。

圖3 鋼球侵徹明膠的有限元模型Fig.3 The finite element model of steel sphere penetrating into ballistic gelatin

3.2 結果與討論

從圖4中可以看到，在兩個速度段上流體彈塑性模型的結果均與實驗結果較一致，而超彈性模型數值結果的誤差較大。從圖5中空腔形態的對比也可以明顯看出，流體彈塑性模型的數值結果與實驗比較接近，而考慮應變率的超彈性模型得到的瞬時空腔較小。在鋼球侵入彈道明膠1 000 μs后，超彈性模型得到的瞬時空腔直徑約為實驗值的一半。

圖4 兩種材料模型計算得到的侵徹深度隨時間變化與實驗結果對比曲線Fig.4 Comparison of computed and experimental time histories of the penetration depths

從對比結果可以得到，在高速侵徹下考慮可壓縮效應的流體彈塑性模型比考慮應變率效應的超彈性模型能更好地模擬彈道明膠的物理響應。這主要是由于彈道明膠在高應變率下的物理響應是由兩個互相競爭的因素來決定的:1)由應變率增加導致的材料強化效應［3-4，6］，2)由高壓引起的材料可壓縮效應［2，7-9，24］。當應變率增加時可壓縮效應逐漸占優，當應變率降低時，應變率強化效應占優。因此明膠在準靜態和中等應變率范圍內可以采用應變率相關的超彈性模型來模擬，但是在高應變率范圍內采用考慮可壓縮效應的流體彈塑性本構能更準確地模擬其物理響應。

圖5 鋼球以721 m/s 的速度入射明膠時仿真得到瞬時空腔與高速攝影拍攝到瞬時空腔對比Fig.5 Comparison of computed and experimental temporary cavity profiles at a strike velocity of 721 m/s

4 結論

本文針對彈道明膠物理性質的實驗研究情況及其在終點效應數值模擬中的應用，重點研究了可用于彈道明膠模擬的兩種不同本構關系:應變率相關的超彈性本構和考慮可壓縮性的流體彈塑性本構。結合相關實驗數據推導得到了彈道明膠狀態方程系數。隨后進行了球形殺傷元高速侵徹彈道明膠的實驗，并建立了對應的有限元模型。最后將采用兩種不同本構模型得到的數值結果與實驗數據進行了比較，得出流體彈塑性模型能更準確地模擬彈道明膠在高應變率下的物理響應結論。為采用數值方法研究槍彈及破片的終點效應提供了一定的借鑒。

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