交變隱式時域有限差分法的媒質吸收薄層設計

張玉賢，鄭宏興，計雷雷

（天津職業技術師范大學天線與微波技術研究所，天津 300222）

交變隱式時域有限差分法的媒質吸收薄層設計

張玉賢，鄭宏興，計雷雷

（天津職業技術師范大學天線與微波技術研究所，天津 300222）

為了解決交變隱式時域有限差分法（ADI-FDTD）的截斷邊界問題，設計了一種媒質吸收薄層鋪設在截斷邊界上，通過給定ADI-FDTD算法基本迭代形式，證明了媒質表面滿足阻抗條件時可實現無反射條件。在一維和二維ADI-FDTD計算實例中發現，在這種媒質吸收薄層上電磁波能被很好地吸收，達到無反射的效果。

交變隱式時域有限管分法；媒質吸收薄層；無反射條件

時域有限差分法[1]（FDTD）在計算電磁學領域中是一種非常有效的算法，在微波電路、天線設計、電磁散射模擬以及電磁兼容問題上得到了廣泛的應用。但對于傳統FDTD方法而言，其運行過程中需要滿足Courant穩定性條件。1999年，Namiki[2]提出了交替隱式差分格式（ADI）的FDTD算法，并驗證了該算法不受制于時間分割[3]。在精細結構問題上，人們往往采用ADI-FDTD法[4-5]，但是在截斷邊界上需要比較復雜的算法來處理問題。本文設計一種媒質吸收薄層[6-7]，達到阻抗匹配條件[8-10]時，鋪設于ADI-FDTD計算區域的周圍，并通過數值計算來驗證其吸收電磁波的有效性。

1 ADI-FDTD算法基本迭代形式

根據電磁現象的普遍規律，在無源空間中電磁波的傳播取決于麥克斯韋方程組：

通過對空間算符▽中的變量進行離散后，采取交替迭代處理，并投影到一維空間上，得到一維ADI-FDTD差分格式為如下2個過程。

過程一 時間步n→n+1/2

過程二 時間步n+1/2→n+1

在過程二中，Ez為隱式變量，需通過求解三對角方程才可求解，稱為隱式迭代過程。對于Hx在一維ADI-FDTD的2個過程中均為顯式迭代過程。通過對（1）和（2）變換的同樣過程，亦得到二維TMz下的ADI-FDTD迭代格式2個過程：

過程一 時間步n→n+1/2

過程二 時間步n+1/2→n+1

在二維ADI-FDTD中，Ez一直處于隱式迭代過程，而Hx和Hy均為顯式迭代過程，并可實現無條件穩定。三維ADI-FDTD的求解過程如同上述步驟一樣。

通過ADI-FDTD的迭代式，進行編程后，從而描述出空間中的電磁分布過程。經過數值驗證后，發現ADIFDTD對精細結構的仿真有明顯的優勢，因此在其截斷邊界上設置一種媒質吸收薄層，可起到無反射條件。

2 媒質表面無反射條件推導

媒質表面電磁分布情況如圖1所示。

圖1 媒質表面的電磁分布情況

區域②的電磁場分布為：

由電磁場的邊界條件中切向連續的性質得到：

通過行列式方法求解上述方程，可得：

若考慮區域①的媒質為真空，區域②的媒質為有耗媒質，那么令ε2=Cε1，μ2=Cμ1，ε1=C′μ1，其中C、C′均為常數，則有：

此時相應的反射系數為：

在光學理論中已驗證了在阻抗匹配條件下入射角與折射角是相等的。在電磁場數值計算中，一般采取精細網格的切分手段便可在不同入射角下實現θi=θt。

3 數值結果驗證

3.1 一維ADI-FDTD算例

通過上面的分析，不妨令ADI-FDTD算法中采用CFLN=2，選取滿足式（28）的數據，設置媒質吸收薄層的電導率為σ2=0.828 3/λb，其中λb為基準波長，通過選取不同的λb，求解出不同的相對介電常數εr的值，如圖2所示。

圖2 在不同λb下選取的不同相對介電常數εr所對應的反射率曲線

由圖2分析得到，當λb越小時，相對介電常數εr需要越大，才能取得最小反射率，因此這種媒質的設置在一維ADI-FDTD中是可行的。設置高斯脈沖形式作為電場上的源：

式中：t0=2×10-10。設置FDTD網格大小為Δx=2 mm，電磁波的傳播過程如圖3所示。

圖3 高斯脈沖在媒質吸收薄層下吸收過程

經過多次數值實驗，發現只需4～5個網格便可吸收99.85%的電磁能量，相對應的反射系數最低為0.001 5，即反射誤差可達到-80 dB以上。

3.2 二維ADI-FDTD算例

按照上述的參數設定，可得到在二維ADI-FDTD下的結果。設置Δy=Δx，計算區域選定為（180Δx）2，在截斷邊界周圍設置一層媒質吸收薄層，引入正弦點源，分別設定點源位置為（90，90）與（60，60），如圖4所示。顯然，圖4（a）和（b）中同心圓的結果表明，上述媒質薄層在滿足阻抗匹配條件下，尋找到適當的基準波長λb和相對介電常數εr時，便可在截斷邊界上實現有效的電磁波吸收。

圖4 正弦點源在媒質吸收薄層下吸收過程

4 結束語

本文利用媒質表面無反射條件，證明出阻抗匹配的條件，在精細結構中可以滿足入射角與折射角相等，利用ADI-FDTD算法，對這種邊界進行設計和相應的數值計算。從ADI-FDTD仿真中，能發現正弦波源無反射，這說明這種媒質吸收薄層設計是有效的。

［1］ YEE K S.Numerical solution of initial boundary value problem involving Maxwell′s equations in isotropic media[J]. IEEE Trans on AP，1966，14（3）：585-589.

［2］ NAMIKI T.A new FDTD algorithm based on alternatingdirection implicit method[J].IEEE Trans on MTT，1999，47（10）：2003-2007.

［3］ ZHENG F，CHEN Z，ZHANG J.A finite-differ ent timedomain method without the Courant stability condition[J]. IEEE Microwave Guided Wave Lett，1999，9（11）：441-443.

［4］ NAMIKI T，ITO K.Numerical simulation using ADI-FDTD method to estimate shielding effectiveness of thin conductive enclosures[J].IEEE Trans on MTT，2001，49（6）：1060-1066.

［5］ 付強，劉長軍，嚴麗萍.ADI-FDTD算法的發展與改進[J].洛陽工業高等專科學校學報，2004，14（3）：1-3.

［6］ ZHANG Y，ZHENG H.An Isotropic PML for the FDTD Solver [C]//iWEM2012.Chengdu：iWEM，2012：2005.

［7］ 張玉賢，鄭宏興.時域有限差分法中的數值色散及誤差分析［EB/OL］.［2014-03-02］.http：//www.paper.edu.cn/rele asepaper/content/201301-1223，2013.

［8］ 丁世敬，葛德彪，黃劉宏.電磁吸波材料中的阻抗匹配條件[J].電波科學學報，2009，24（6）：1104-1108.

［9］ 王仁乾，馬黎黎.吸聲材料物理參數優化的研究[J].聲學技術，2004，23（2）：74-78.

［10］肖猛.復合吸波材料的阻抗匹配對電波暗室性能的影響[C]//盛志森.2010年第15屆可靠性年會論文集.北京：電子工業出版社，2010：352-356.

Design of medium absorbing thin layer for alternate-direction implicit finitedifference time-domain method

ZHANG Yu-xian，ZHENG Hong-xing，JI Lei-lei
（Institute of Antenna and Microwave Techniques，Tianjin University of Technology and Education，Tianjin 300222，China）

In order to solve the boundary problem for alternating-direction implicit finite-difference time-domain method（ADI-FDTD），we design a thin medium layer on the truncation boundary.The iteration form of ADI-FDTD is given.It is proved that non-reflection condition can be realized in this medium when it satisfies the impedance-matched condition.Numerical results show that electromagnetic waves can be absorbed evidently in one-and two-dimensional cases.Almost nonreflection can be found.

ADI-FDTD；thin media；without reflection

TM154

A

2095－0926（2014）03－0012－04

2014-04-22

國家自然科學基金資助項目（61371043）；天津市應用基礎及前沿技術研究計劃（12JCYBJC10500）.

張玉賢（1989—），男，碩士研究生；鄭宏興（1962—），男，教授，博士，碩士生導師，研究方向為天線、微波電路和計算電磁學,