基于薄板理論的六維力傳感器E型膜橫向扭轉振動分析

謝黎峰，許德章

（安徽工程大學機械與汽車工程學院，安徽蕪湖 241000）

機器人六維力傳感器是最重要的傳感器之一，具備同時探測作用在末端執行器的3個力分量（Fx、Fy、Fz）和3個力矩分量（Mx、My、Mz）［1］.由于現有的六維力傳感器6個通道之間存在干擾或噪聲耦合，導致動態標定實驗十分復雜和困難［2］.如劉正士和葛運建等，將單維力傳感器彈性體簡化成集中質量的單自由度二階阻尼振動模型，利用脈沖激勵法獲得其動態特性［3］，但對于多維力系統動態特性提取尚無有效的實驗手段.因此，通過理論分析尋找六維力傳感器動態耦合特征具有十分重要的意義.對于電阻應變片式六維力傳感器動態耦合特征的辨識，應著眼于其主要彈性體力學特征的研究［4］.雙E型六維力傳感器［5］是常見的應變片式六維力傳感器之一，上、下E型膜是傳感器最主要的彈性體結構，其動態特征決定著動態解耦矩陣C和傳感器的動態輸出.對六維力傳感器彈性體動態特征的求解方法主要有實驗建模、數值建模及解析建模［6］.由于動態標定實驗過于復雜且現有實驗手段難以達到傳感器實際工作頻率的帶寬；而數值建模由于采用擬合逼近的方法，數值解本身與真實解之間存在一定誤差；所以本文將采用解析建模的方法，基于彈性力學薄板振動理論，對圓環形薄板在動態力偶矩作用下的橫向強迫振動問題提出一種新穎的解決方法，求解出測量主方向動載荷的各應變片的輸出，并對結果進行數據處理，為六維力傳感器動態解耦提供了理論和數據基礎.

1 六維力傳感器結構和受力分析

1.1 六維力傳感器的結構

以中科院合肥智能研究所具有自主知識產權的超薄型雙E型膜片六維力傳感器為研究對象，其結構如圖1所示.其中，矩形薄板1和上、下E型膜4、6分別為彈性體結構，電阻應變片粘貼在其表面，在受到動載荷作用時，會隨之發生形變，經過橋路產生輸出信號.上傳力環2、中間傳力環3、中心支柱5及底座7可看作剛體，在動載條件下不發生形變，用于傳遞外載荷.傳感器的材料及尺寸參數如表1所示.

表1 六維力傳感器的結構參數

1.2 六維力傳感器的受力分析

動態標定實驗中，給六維力傳感器施加My方向的動載荷，即動態力偶矩，通常是在加載帽上沿x軸左右各施加一個大小相等、方向相反的動態激勵力，如圖2所示.這種受力狀態下，測量Mz方向動載荷的矩形彈性體1，可以根據彈性力學矩形截面桿的扭轉分析求解.由于中心支柱5看做剛體，因而下E型膜也受到一個動態力偶矩的作用，分析過程與上E型膜類似.所以本文以測量My主方向動載荷的上E型膜為例，重點分析圓環形薄板在非對稱動載荷作用下的強迫振動問題.

將My方向動載荷作用下的上E型膜簡化成一個內邊界固定、外邊界自由的圓環薄板，如圖3所示.根據薄板的A、B兩點分別作用一對大小qt1＝Ksinωt，方向相反的動態激勵力，將這對剪力的作用效果等效為沿薄板圓周方向線性變化均布剪力，其中，A、B點剪力最大，C、D點剪力為0.在xoy平面內建立極坐標，以x軸為r軸，逆時針取φ.

圖1 六維力傳感器結構

圖2 六維力傳感器俯視圖

圖3 上E型膜力學模型

2 六維力傳感器橫向扭轉分析

2.1 圓環薄板非對稱動載下扭轉分析

根據極坐標系，將彈性力學薄板受迫振動微分方程改寫為極坐標下圓形薄板受迫振動微分方程：

由于已經求解出圓環薄板自由振動的固有頻率和振型函數［7］，將公式（1）中薄板所受的動力外載荷qt展開為振型函數的級數形式：

其中，m表示振型函數的階數，n表示振型函數中Bessel函數的階數.

把圓環薄板受迫振動微分方程（1）的解答也展開為振型函數級數的形式：

把（2）（3）兩式代入式（1），比較兩邊系數，并化簡得一常微分方程：

該常微分方程的解答可表示為：

其中τmn（t）是任意特解，系數Amn、Bmn由初始條件決定.將（5）式代入（3）式，得薄板在任意瞬時的撓度：

2.2 圓環薄板非對稱動載下扭轉振動算例

根據題設，在A、B兩點分別作用一對大小qt1＝Ksinωt，按照受力分析，等效剪力沿圓周線性變化，求解出圓周上任意一點剪力的表達式：

圖4 f（φ）分段函數關系圖

參照重三角級數展開公式，（2）式改寫為廣義力Fmn（t）的求解公式［7］：

按照式（8），代入剪力qt（r，φ，t）和振型函數Wmn（r，φ）.根據工程實際需要以及對計算量的控制，本文取前3階振型函數，前2階Bessel函數.求解出廣義力如表2所示.

表2 各階廣義力值

結合零初始條件，即：

求解出系數Amn、Bmn.將系數及特解代入圓形薄板受迫振動微分方程的解（6）得：

由于本文研究的E型膜滿足薄板小撓度彎曲理論的3個基本假設，根據彈性力學空間幾何方程，推導出極坐標下得圓形薄板動態應變求解公式：

（1）由于應變片是貼在薄板的外表面，如圖3所示，所以（11）式中z應取應變片貼附的薄板表面至中心面的距離：z＝h/2，薄板表面徑向線應變：

（2）同理，根據（11）中的第2式，求解出薄板表面周向線應變：

根據上述計算結果，對動態應變εr、εφ進行仿真.由求解出的εr、εφ可知，薄板表面動態應變εr、εφ的位置由r、φ決定.將表示激勵力幅值大小的變量K取1，根據工程中機械手動態力帶寬實際范圍，選取激勵頻率2 KHz、8 KHz、10 KHz，仿真出上E型膜受迫振動沿r、φ兩個方向線應變的四維空間切片圖（圖中方格內顏色的深淺代表此點應變的大?。┤鐖D5、圖6所示.由圖5、6可知，上E型膜徑向線應變主要集中在粘貼應變片的軸線（即π、2π處）上，且在圓環板的內邊界附近值較大，沿坐標軸r向外邊界方向逐漸減小.周向應變在整個圓環板面都有分布，且分布較均勻.對動態應變εr、εφ進行矢量合成得合應變ε.ε中應變片的位置同樣只由變量r、φ決定，代入各位置參數（各電阻應變片取中心點位置）得4應變片的應變（見表3）.

圖5 上E型膜徑向動態應變仿真

圖6 上E型膜周向動態應變仿真

如圖2所示，測量My方向動載荷的是粘貼在上E型膜的R9、R10、R11、R124片電阻應變片，構成了惠斯通電橋，R9與R11，R10與R12分別置于相對應橋臂上.根據My方向動載荷作用時，膜片變形、應變與受力關系［8］，推導出My方向動載荷作用下傳感器的應變輸出為：

將表3中的各參數帶入式（12），得My方向動載荷作用下傳感器的應變輸出的具體表達式：

SMyMy就是My方向動載荷作用時，主方向通道動態輸出的解析解.根據六維力傳感器的動態標定公式可得所以上式求解出了SMyMy就等同于求解出動態耦合矩陣中的元素KMyMy.

表3 My方向動載下My方向電阻應變片輸出

3 結論

基于彈性力學薄板強迫振動理論，對雙E型六維力傳感器的主要彈性體上E型膜進行分析，建立圓環薄板的力學模型，將外加非對稱動載荷等效成薄板邊界處線性變化的剪力，求解出圓環薄板表面任意位置橫向強迫振動的應變.并仿真了動態應變的四維空間切片圖，直觀地揭示了彈性體在非對稱動載下表面響應的分布.同時，基于電阻應變片的位置，對動態應變進行數據處理.動態輸出的解析解為六維力傳感器動態解耦算法研究在My主方向上提供了數據基礎；從力學角度揭示了六維力傳感器E型膜的動態特性，為其他方向動載荷作用時，E型膜的耦合輸出研究提供了理論依據.

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