三次函數(shù)零點(diǎn)判別法

玉邴圖

（廣南縣第一中學(xué)，云南 廣南 663300）

三次函數(shù)零點(diǎn)判別法

玉邴圖

（廣南縣第一中學(xué)，云南 廣南 663300）

三次函數(shù)是重要的初等函數(shù)之一，其性質(zhì)是數(shù)學(xué)教學(xué)的研究重點(diǎn)。文章將根據(jù)其極值點(diǎn)的分布情況，應(yīng)用韋達(dá)定理推導(dǎo)出三次函數(shù)零點(diǎn)的一種判別法，為解決三次函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)及其相關(guān)問(wèn)題提供了借鑒和參考。

三次函數(shù)；零點(diǎn)；韋達(dá)定理

高中數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)開(kāi)設(shè)導(dǎo)數(shù)以后，三次函數(shù)是高考的重頭戲，題目形式多樣，角度常變，常考常新。論述其零點(diǎn)判別法的文章也有之，如最近的文獻(xiàn)[1]和文獻(xiàn)[2]是按平移和伸縮變換，將f (x)=ax3+bx2+cx+d化為f (x)=x3+px2+q以后，再用盛金公式求解，這種方法在應(yīng)用時(shí)，需要轉(zhuǎn)化和分類討論，不易操作。本文是根據(jù)三次函數(shù)圖像和極值點(diǎn)的分布情況，應(yīng)用韋達(dá)定理推導(dǎo)出另一種判別法——直接用a, b, c, d的不等式表示三次函數(shù)零點(diǎn)判別法。這種方法直截了當(dāng)，應(yīng)用方便，現(xiàn)論述如下。

定理1函數(shù)f (x)=ax3+bx2+cx+d (a ≠ 0)有三個(gè)零點(diǎn)的充分必要條件是

證明：因?yàn)閒 ′(x)=3ax2+2bx+c，令f ′(x)=0得方程

要使三次函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，則三次函數(shù)必有兩個(gè)極值點(diǎn)，等價(jià)于方程（1）有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，又等價(jià)于判別式Δ=4b2-12ac=4(b2-3ac)＞0b2-3ac＞0，此時(shí)兩個(gè)極值點(diǎn)分別在x軸的兩側(cè)，如圖1所示，即對(duì)應(yīng)兩個(gè)極值的積為負(fù)數(shù)，即y1y2=f (x1) f (x2)＜0。

圖1 兩個(gè)極值點(diǎn)分別在x軸兩側(cè)的示意圖

定理2函數(shù)f (x)=ax3+bx2+cx+d (a ≠ 0)有兩個(gè)零點(diǎn)的充分必要條件是

證明：由題意，同定理1的分析得b2-3ac ＞ 0。

要使三次函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，此時(shí)有一個(gè)極點(diǎn)在x軸上，如圖2所示。

圖2 只有一個(gè)極值點(diǎn)在x軸上的示意圖

對(duì)應(yīng)的兩個(gè)極值的積為零，即y1y2+ f (x1) f (x2)=0。以下證明與定理1相仿，從略。

定理3函數(shù)f (x)=ax3+bx2+cx+d (a ≠ 0)有一個(gè)零點(diǎn)的充分必要條件是

證明：①同定理1的證明得b2-3ac ＞ 0。

要使三次函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)，等價(jià)于兩個(gè)極點(diǎn)在x軸的同一側(cè)，如圖3所示。

對(duì)應(yīng)的兩個(gè)極值的積大于零，即y1y2=f (x1) f (x2) ＞ 0。以下證明與定理1相仿，從略。

②當(dāng)方程（1）的判別式Δ=4b2-12ac=4 (b2-3ac) ≤ 0b2-3ac ≤ 0時(shí)，導(dǎo)函數(shù)y′=3ax2+ 2bx + c ≥ 0或y′=3ax2+ 2bx + c ≤ 0恒成立，函數(shù)f (x)是單調(diào)函數(shù)，函數(shù)f (x)的圖像與x軸一個(gè)交點(diǎn)，如圖4所示，此時(shí)，問(wèn)題等價(jià)于函數(shù)f (x)有且只有一個(gè)零點(diǎn)。

圖3 兩個(gè)極值點(diǎn)在x軸同側(cè)的示意圖

圖4 f(x)與x軸有一個(gè)交點(diǎn)的示題圖

下面舉例說(shuō)明上述判別法的應(yīng)用。

以上的例題可改變?yōu)槿缦赂腥さ膯?wèn)題。

例5 設(shè)函數(shù)f (x)=| ax3-2x2-3x + 1| (a ≠ 0 )，求：

1）a在什么值的范圍內(nèi)，函數(shù)有六個(gè)單調(diào)區(qū)間；

2）a在什么值的范圍內(nèi)，函數(shù)有四個(gè)單調(diào)區(qū)間；

3）a在什么值的范圍內(nèi)，函數(shù)有兩個(gè)單調(diào)區(qū)間。

解：因?yàn)槿魏瘮?shù)的絕對(duì)值的圖像全部在x軸上方，也就是圖像在x軸下方部分以x軸為對(duì)稱軸向上翻折，于是問(wèn)題立即得解。因?yàn)閎=2, c=-3, d=1。

1）依題意，由定理1知，當(dāng)a滿足以下不等式時(shí)，符合題意。

［1］ 胡勇.三次函數(shù)零點(diǎn)判別探究的教學(xué)實(shí)錄和感想[J] .福建中學(xué)數(shù)學(xué)，2013（9）：12-15.

［2］ 360百科.三次函數(shù)[EB/OL]. [2014-03-20] http://baike.so.com/doc/4720205.html.

On the Test of Zero Vector of Cubic Function

YU Bing-tu
(No. 1 Middle School, Guangnan 663300, China)

Cubic function is one of important elementary functions and its properties are the focus of mathematics teaching. The paper deduces a test of zero vector of cubic function from Vieta’s theorem, based on the distributions of its extreme value points, which provides a reference basis for the number of zero vector and its related problems.

Cubic function; zero vector; Vieta’s theorem

O122

A

1674-9200（2014）06-0043-05

（責(zé)任編輯 劉常福）

2014-04-09

玉邴圖（1958-），男，云南廣南人，云南省特級(jí)教師，全國(guó)模范教師，云南省委聯(lián)系專家，主要從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)和解析幾何理論研究。