具有多個轉向點的奇攝動二階擬線性邊值問題

許國安，余贊平

（1.華僑大學 數(shù)學科學學院，福建 泉州362021；

2.福建師范大學 數(shù)學與計算機科學學院，福建 福州350007）

轉向點問題是奇攝動理論的重要內(nèi)容，在量子力學、流體力學、光的傳播，以及化學反應等物理和化學現(xiàn)象中廣泛出現(xiàn)［1-2］，許多學者對此問題做了大量工作［3-7］.然而，其中大部分工作都是在假設弱穩(wěn)定條件下完成的 .文獻［8］在缺乏弱穩(wěn)定的條件下考慮了具有單個轉向點的二階擬線性邊值問題，證明了解的存在性并給出了解的一致有效估計.本文研究具有多個轉向點的奇攝動二階擬線性邊值問題，在缺乏弱穩(wěn)定的條件下，證明解的存在性并給出解的一致有效估計.

1 基本假設

考慮如下邊值問題（BVP），即

對于邊值問題（1），作如下3點假設.

這里δ為適當小的正數(shù).

H2）設f（t，y），g（t，y）在D1∪D2∪D3上充分光滑.

H3）設t＝t1，t＝t2分別為邊值問題（1）的m1，m2階轉向點.這里轉向點的定義如下：

可以對轉向點的階數(shù)作如下拓廣，即｜f（t，y）｜＝O（｜t-t0｜m），t→t0.在拓廣意義下研究轉向點問題，為了描述的方便，作如下定義.

2 主要結果及證明

引理1 如果假設 H1），H2）成立，且退化軌道u（t）在［a，b］中是（Ⅰq）或（Ⅱn），（Ⅲn）穩(wěn)定的，則uL（t1）＝u0（t1），uR（t2）＝u0（t2）.

證明 不妨設退化軌道是（Ⅱn）穩(wěn)定的（另兩種穩(wěn)定情形的證明類似）.

由引理1結論可知，在假設穩(wěn)定的條件下，退化解在轉向點處一定是相連的，即退化軌道是連續(xù)的.

以上討論可推廣至含有m（m＞2）個轉向點情形，并可得到類似的結論.

［1］ NAYFEH A H.Perturbation methods［M］.New York：Wiley，1973：120-200.

［2］ O＇MALLEY R E.Introduction to singular perturbations［M］.New York：Academic Press，1974：1-45.

［3］ 余贊平.一類具有高階轉向點的二次問題的奇攝動［J］.數(shù)學研究，2005，38（2）：180-183.

［4］ 蔡建平，林宗池.具有轉向點的三階半線性奇攝動邊值問題解的存在性［J］.應用數(shù)學和力學，1993，14（12）：1035-1039.

［5］ 吳欽寬，張祥.具有轉向點的奇攝動非線性邊值問題解的一致有效估計［J］.應用數(shù)學，1995，8（2）：231-238.

［6］ 余贊平，肖蓬.一類具有轉向點的邊值問題的奇攝動［J］.福建師范大學學報：自然科學版，2004，20（4）：6-8.

［7］ 章國華，侯斯 F A.非線性奇異攝動現(xiàn)象：理論和應用［M］.福州：福建科學技術出版社，1989：6-15，28-31.

［8］ 許國安，余贊平.具有轉向點的奇攝動二階擬線性邊值問題［J］.華僑大學學報：自然科學版，2010，31（3）：346-350.