解析函數的復合邊值逆問題

武模忙，林峰，李錦成

（華僑大學 數學科學學院，福建 泉州362021）

文獻［1-2］給出一類解析函數的Riemann邊值逆問題的提法，討論了該邊值逆問題的正則型和非正則型情況的解法.文獻［3］給出解析函數的Hilbert邊值逆問題的提法，討論了此邊值逆問題的可解性，給出其可解條件和解的表達式.文獻［4-5］給出了半平面中解析函數的Hilbert邊值逆問題的提法，得到了該邊值逆問題的可解條件和解的積分表達式.文獻［6-8］分別研究了廣義解析函數的Riemann邊值問題、一類Dirichlet邊值逆問題及半平面中的Dirichlet邊值逆問題.文獻［9-11］分別討論了解析函數的非正則型Riemann Hilbert邊值逆問題、解析函數在開口弧段上的Riemann邊值逆問題，以及雙解析函數在開口弧段上的Riemann邊值逆問題.本文將討論解析函數的復合邊值逆問題.

1 問題的提法

求函數組（Φ（z），Ψ1（τ），Ψ2（τ））.其中：Φ（z）為D中以Γ為跳躍曲線的分區全純函數；Ψ1（τ）為Γ上的H類函數；Ψ2（τ）為L上的H類實函數 .滿足下列邊值條件，即

上述問題稱為解析函數的復合邊值逆問題，簡稱為RH-1問題，若G1（τ）≠0，G2（τ）≠0，λ（t）≠0，則稱該逆問題為正則型RH-1問題，否則稱為非正則型RH-1問題.以下討論正則型RH-1問題.

2 問題的轉化

由式（1）的第一式兩端乘以g2（τ），并與式（1）的第二式兩端乘以g1（τ）后相減，可得

由式（2）的第一式兩端乘以r2（t），并與式（2）的第二式兩端乘以r1（t）后相減，可得

這樣，若求滿足RH-1問題邊值條件的分區全純函數Φ（z），即求滿足以下復合邊值問題

3 問題的求解

3.1 Hilbert邊值問題（9）的求解

考慮如下Riemann邊值問題

Ⅰ）當K≥0時，Riemann邊值問題（10在R0中有一個特解，即

式（12）中，Ω0＊（z）是Ω0（z）關于｜t｜＝1的對稱擴張，則有（z）＝Ω（z），｜t｜＜1是Hilbert邊值問題（9）的一個特解.因此，Hilbert邊值問題（9）的一般解為

式（13）中，C0，C1，C2，…，C2K-1，C2K為任意常數，且須滿足

Ⅱ）當K＜0時，當且僅當條件

成立時，Hilbert邊值問題（9）有唯一解為

因此，復合邊值逆問題的解中Φ（z）的表達式為

式（17）中：當K≥0時，Φ0（z）由式（13）給出；當K＜0時，當且僅當條件式（15）滿足，Φ0（z）由式（16）給出 .此外，Φ1（z），X（z）分別由式（7）和式（8）給出.

3.2 Ψ1（τ）的求解

將復合邊值逆問題的解Φ（z）代入式（1）中，將其第一式兩端乘以G2，2（τ）并與與第二式兩端乘以G1，2（τ）后相減，可得

式（18）中，當K≥0時，Φ0（τ）由τ代入式（13）得到；當K＜0時，當且僅當條件式（15）滿足時，Φ0（τ）由τ代入式（16）得到.由式（7），（8）及Cauchy型積分Plemelj公式，可以得到

3.3 Ψ2（t）的求解

將復合邊值逆問題的解Φ（z）代入式（2）中，兩式相減可得

（Ⅰ）當K≥0時，由于有

式（24）中：I1為和式中第1，2項之和，I2為第3，4項之和，I3為第5，6項之和，I4為第7項.注意到有

式（36）中：I′1，I3，I4分別為式（35），（29），（30）給出.

定理1 對于正則型RH-1問題，當K≥0時，其一般解為（Φ（z），Ψ1（t），Ψ2（t）），其中Φ（z），Ψ1（τ），Ψ2（τ）分別由式（16），（17），（33）給出；而當K＜0時，當且僅當條件式（16）滿足時，其有唯一解（Φ（z），Ψ1（t），Ψ2（t）），其中Φ（z），Ψ1（τ），Ψ2（τ）分別由式（16），（17），（36）給出.

［1］ 李星.一類 Riemann邊值逆問題［J］.數學雜志，1996，16（3）：303-306.

［2］ 王明華.Riemann邊值逆問題與奇異積分方程組［J］.數學雜志，1999，19（2）：175-180.

［3］ 王明華.一類 Riemann-Hilbert邊值逆問題［J］.純粹數學與應用數學，2006，28（2）：225-231.

［4］ 王明華.半平面中的 Hilbert邊值逆問題［J］.四川師范大學學報：自然科學版，2011，34（2）：208-212.

［5］ 鄢盛勇.半平面中一類 Riemann-Hilbert邊值逆問題［J］.貴州師范大學學報：自然科學版，2011，29（1）：52-57.

［6］ 王明華.廣義解析函數的 Riemann邊值逆問題［J］.寧夏大學學報：自然科學版，2006，27（1）：18-20.

［7］ 王明華.一類 Dirichlet邊值逆問題［J］.系統科學與數學，2008，28（2）：225-231.

［8］ 王明華.半平面中的 Dirichlet邊值逆問題［J］.四川師范大學學報：自然科學版，2006，29（6）：683-687.

［9］ 鄢盛勇.解析函數的非正則型 Riemann-Hilbert邊值逆問題［J］.蘭州理工大學學報，2011，37（2）：141-145.

［10］ YAN Sheng-yong.Inverse riemann boundary value problem along open arcs［J］.Journal of Yunan University of Nationalities：Natural Sciences Edition，2011，20（2）：107-112.

［11］ 鄢盛勇.雙解析函數在開口弧段上的Riemann邊值逆問題［J］.云南民族大學學報：自然科學版，2012，21（2）：125-129.

［12］ 路見可.解析函數邊值問題教程［M］.武漢：武漢大學出版社，2009：97-102.