一元二次方程的應用教學思考

蘇文旭

【摘 要】一元二次方程應用歸納 解法 舉例 總結

【關鍵詞】一元二次方程應用 題型歸類

在初中數學的教學中，應用題的教學是一個難點，一元二次方程的應用也不例外是一個，在近幾年的中考中時時刻刻困擾著學生，下面我就一元二次方程的應用做一個歸納。僅供參考：

應用一元二次解決實際問題有下面常見的幾種類型：

增長率或降低率問題：

關于一元二次方程應用題中的增長（降低）率問題，根據相等關系，多渠道籌措會得出基本關系式為： a（1±x）2=b，

套用公式a（1±x）2=b，注：（1）a是初始量，b是連續增長兩次或連續降低兩次的量，x為百分率，“+”為增長，“-”為降低；（2）解的過程用直接開平方法，無論是增長的百分率還是降低的百分率都是正值，把負值舍去。

青山村種的水稻2001年平均每公頃產7200kg，2003年平均每公頃產8712kg，求水稻每公頃產量的平均增長率。

解：設水稻每公頃產量的平均增長率為x，于是有

7200（1+x）2=8712

解方程，得

x1=0.1=10%， x2=-2.1（舍去）

根據問題的實際意義，水稻每公頃產量的平均增長率為10%。

這類問題在現實世界中有許多原形，它可以用一元二次方程作為數學模型，設平均變化率為x，則有下列關系

變化前數量×（1+x）2=變化后數量

營銷問題：

問題背景是商品買賣中的定價、銷量、利潤的關系，其中定價的高低直接影響到銷量的變化，價格降低，銷量增加；價格升高，銷量減少，進而會引起利潤和管理成本的變化，主要數量關系由售價、成本、銷量、利潤四部分組成。

百貨商店服裝柜在銷售中發現：某品牌童裝平均每天可售出20件，每件盈利40元，為了迎 “六一”國際兒童節，商場決定采取降價措施，擴大銷售量，增加盈利，減少庫存，市場調查發現：如果每件童裝降價1元，那么平均每天就可多售2件，要想平均每天銷售這種童裝盈利1200元，那么每件童裝應降價多少元？

解：設每件童裝應降價x元，于是有：

（40-x）（20+2x）=1200 即 x2-30x+200=0

解方程，得 x1=20， x2=10

根據題意，因為要擴大銷售量，增加盈利，減少庫存，所以x=20。

方程的兩個根都是正數，但它們并不都適合問題的解，必須根據它們的值來確定哪個合乎實際，這種取舍選擇要考慮問題的實際意義，教學中應注意培養學生將數學知識與實際問題結合的能力。

幾何問題：

與幾何問題有關的一元二次方程應用題主要有兩類：（1）幾何圖形的面積問題：這類問題的面積公式的等量關系，如果圖形不規則，應分割或組合成規則圖形，找出各部分面積之間的關系，再運用規則圖形的面積公式找出等量關系列出方程。（2）勾股定理問題：直角三角形的兩直角邊的平方等于斜邊的平方是這類問題的等量關系。

下面是我國南宋數學家楊輝在1275年提出的一個問題：“直天積（矩形面積），八百六十四步，（平方步），只云闊（寬）不及長一十二步，（寬比長少一十二步，問闊及長各幾步？

解：設闊（寬）x步，則長為（x+12）步，

根據題意，列出方程：

x（x+12）=864

即 x2+12x-864=0

解方程，得 x1=24， x2=-36（舍去）

答：矩形的闊（寬）為24步，長為36步。

與幾何圖形有關的一元二次方程的應用題主要是將數字及數字間的關系隱蔽在圖形中，用圖形表示出來，這樣的圖形主要有三角形、四邊形，涉及三角形的三邊關系、三角形全等、面積的計算、體積的計算、勾股定理等。解決這類問題的關鍵是把實際問題數字化，這就要求我們認真分析題意，先把實際問題中的已知條件與未知條件歸結到某一個幾何圖形中，然后用幾何定理來尋找它們之間的關系，列出一個相關的一元二次方程，從而問題得以解決。

數字問題：利用一元二次方程解決數字問題的關鍵是正確而巧妙地設未知數，一般采用直接設未知數的方法。

一個兩位數，個位數字比十位數字大3，個位數字的平方剛好等于這個兩位數，求這個兩位數。

解：設十位數字為x，則個位數字為x+3，于是有：

（x+3）2=10x+x+3

解方程，得 x1=2， x2=3

根據題意，x1， x2都是方程的解

所以這個兩位數是52或63

方法技巧：從文字語言中找出存在的相等關系

注意：做一元二次方程的應用這些題目時，首先要正確地設未知數并列出方程，然后正確地解方程，所以要對這類問題進行適當的歸納，但不要搞成偏重死記硬背題型的教學方式，要教會學生分析問題的能力。

本內容的背景和表達都比較貼近實際，其中的有些數量關系比較隱蔽，所以在探究過程中正確地建立一元二次方程是主要難點，突破難點的關鍵是弄清問題背景，把有關數量關系分析透徹，特別是找出可以作為列方程依據的主要相等關系。

經歷將實際問題抽象為數學問題的過程，探索問題中的數量關系，并能運用一元二次方程對之進行描述。

通過對一元二次方程解決身邊問題，體會數學知識的價值，提高學生學習數學的興趣，了解數學對促進社會進步和發展人類理性精神的作用；學會將實際應用問題轉化為數學問題，體驗解決問題策略的多樣性，發展實踐應用能力。

本內容是以列一元二次方程解應用題為中心，深入探究數量關系，提高學生應用方程分析解決問題的能力，強調解題應用，使學生體會解題方法的多樣性，開闊解題思路，優化解題方法，并增強擇優能力，讓學生在自主探索和合作交流的過程中學習，獲得數學活動經驗。endprint